І. С. Козлова, Ю. В. Щербакова

Нарисна геометрія. Конспект лекцій

Лекція № 1. Відомості про проекціях

1. Поняття проекцій

Нарисної геометрії називають науку, яка є теоретичним фундаментом креслення. У даній науці вивчаються способи зображення на площині різних тіл і їх елементів. Ці зображення дозволяють однозначно визначити форму і розміри виробу і виготовити його. При роботі з кресленнями виконуються два види робіт: підготовка креслень і їх читання.

Читання креслення полягає в відтворенні в розумі реальної форми об'єкта і деяких його частин з використанням при цьому креслення.

Нарисна геометрія ґрунтується на методі проекцій.

Проекцією точки М на деякій площині називають зображення, яке будується в наступній послідовності (рис. 1).

Через дану точку М необхідно провести пряму, яка не паралельна даній площині. Точку перетину даної прямої і площини назвемо точкою m. Отримана точка m буде проекцією точки М на дану площину. Пряму Mm називають проектує прямий, а дана площину називається площиною зображення.

Подібним чином можна отримати проекції різних фігур як проекції кожної з його точок. Спосіб побудови визначає вид проекції: центральну або паралельну.

2. Центральна проекція

Подання про центральної проекції можна отримати, якщо вивчити зображення, яке дає людське око.

Для побудови центральної проекції об'єкта потрібно між оком і досліджуваним предметом помістити прозорий екран і відзначити на ньому точки перетину променів, які йдуть від ока людини до окремих точках предмета. При з'єднанні всіх точок на екрані отримуємо зображення (проекцію) фігури (рис. 2). Ця проекція називається центральної.

Центральна проекція - це проекція, яка утворюється за допомогою проецирующихся променів, що проходять через одну точку.

Зображення предметів за допомогою центральної проекції зустрічається дуже часто, особливо для предметів, що володіють великими розмірами.

3. Паралельна проекція

Паралельна проекція - це такий вид проекції, при побудові якого використовуються паралельні проектуються промені.

При побудові паралельних проекцій потрібно задати напрямок проектують променів (рис. 3). На даному прикладі в якості направляючого променя обраний промінь l. При побудові зображень через всі крапки проводяться прямі, паралельні встановленому напрямку проектування, до точки перетину з площиною проекції. Поєднуючи отримані точки, отримуємо паралельну проекцію предмета.

Паралельні проекції можуть бути ортогональними або косокутність в залежності від напрямку проектують променів.

Проекція називається ортогональної, якщо проектує промінь перпендикулярний площині.

Проекція називається косокутній, якщо кут нахилу проектують променів спрямований щодо площині під кутом, відмінним від прямого.

Зображення, отримане за допомогою паралельної проекції, набагато менше спотворено, ніж зображення, отримане за допомогою центральної проекції.

Лекція № 2. Точка

1. Проекції точки на дві площини проекцій

Розглянемо проекції точок на дві площини, для чого візьмемо дві перпендикулярні площині (рис. 4), які будемо називати горизонтальній фронтальної і площинами. Лінію перетину даних площин називають віссю проекцій. На розглянуті площині спроеціруем одну точку А за допомогою плоскої проекції. Для цього необхідно опустити з даної точки перпендикуляри Аа і A на розглянуті площині.

Проекцію на горизонтальну площину називають горизонтальною проекцією точки А, а проекцію а на фронтальну площину називають фронтальною проекцією.

Точки, які підлягають проецированию, в нарисної геометрії прийнято позначати за допомогою великих латинських букв А, В, С. Для позначення горизонтальних проекцій точок застосовують малі літери а, b, с ... Фронтальні проекції позначають малими літерами з штрихом вгорі а, b, с ...

Застосовується також і позначення точок римськими цифрами I, II, ... а для їх проекцій - арабськими цифрами 1, 2 ... і 1, 2 ...

При повороті горизонтальній площині на 90 ° можна отримати креслення, в якому обидві площині знаходяться в одній площині (рис. 5). Дана картина називається епюр точки.

Через перпендикулярні прямі Аа і Аа проведемо площину (рис. 4). Отримана площину є перпендикулярній фронтальній і горизонтальній площинах, тому що містить перпендикуляри до цих площинах. Отже, дана площину перпендикулярна лінії перетину площин. Отримана пряма перетинає горизонтальну площину по прямій аа х, а фронтальну площину - по прямій аа х. Прямі аах і аа х є перпендикулярними осі перетину площин. Тобто Ааах є прямокутником.

При суміщенні горизонтальній і фронтальній площин проекції а й а будуть лежати на одному перпендикуляр до осі перетину площин, так як при обертанні горизонтальній площині перпендикулярність відрізків аа х і аа х не порушується.

Отримуємо, що на епюрі проекції а й а деякою точки А завжди лежать на одному перпендикуляр до осі перетину площин.

Дві проекції а й а деякою точки А можуть однозначно визначити її положення в просторі (рис. 4). Це підтверджується тим, що при побудові перпендикуляра з проекції а до горизонтальної площини він пройде через точку А. Точно так же перпендикуляр з проекції а до фронтальної площини пройде через точку А, т. Е. Точка А знаходиться одночасно на двох конкретних прямих. Точка А є їхньою точкою перетину, т. Е. Є певною.

Розглянемо прямокутник Aaa х а (рис. 5), для якого справедливі наступні твердження:

1) Відстань точки А від фронтальної площини дорівнює відстані її горизонтальної проекції а від осі перетину площин, т. Е.

Аа = аа х;

2) відстань точки А від горизонтальної площини проекцій дорівнює відстані її фронтальної проекції а від осі перетину площин, т. Е.

Аа = аа х.

Інакше кажучи, навіть без самої точки на епюрі, використовуючи тільки дві її проекції, можна дізнатися, на якій відстані від кожної з площин проекцій знаходиться дана точка.

Перетин двох площин проекцій розділяє простір на чотири частини, які називають чвертями (рис. 6).

Ось перетину площин ділить горизонтальну площину на дві чверті - передню і задню, а фронтальну площину - на верхню і нижню чверті. Верхню частину фронтальної площини і передню частину горизонтальній площині розглядають як межі першої чверті.

При отриманні епюра обертається горизонтальна площина і поєднується з фронтальним площиною (рис. 7). У цьому випадку передня частина горизонтальній площині співпаде з нижньою частиною фронтальної площини, а задня частина горизонтальній площині - з верхньою частиною фронтальної площини.

На малюнках 8-11 показані точки А, В, С, D, що розташовуються в різних чвертях простору. Точка А розташована в першій чверті, точка В - у другій, точка С - в третій і точка D - в четвертій.

При розташуванні точок в першій або четвертій чвертях їх горизонтальні проекції знаходяться на передній частині горизонтальній площині, а на епюрі вони ляжуть нижче осі перетину площин. Коли точка розташована в другій або третій чверті, її горизонтальна проекція буде лежати на задній частині горизонтальній площині, а на епюрі буде знаходитися вище осі перетину площин.

Фронтальні проекції точок, які розташовані в першій або другій чвертях, будуть лежати на верхній частині фронтальній площині, а на епюрі будуть знаходитися вище осі перетину площин. Коли точка розташована в третій або четвертій чверті, її фронтальна проекція - нижче осі перетину площин.

Найчастіше при реальних побудовах фігуру розташовують в першій чверті простору.

Кінець ознайомчого уривка

СПОДОБАЛАСЯ КНИГА?