Лекції призначені для студентів інженерно-технічних спеціальностей

Вступ
Тема 1. Проектування точки
Тема 2. Проектування прямий
Тема 3. Положення прямої щодо площин проекцій. сліди прямої
Тема 4. Площина. Способи завдання площин
Тема 5. Положення площині. сліди площини
Тема 6. Взаємне розміщення прямої і площини
Тема 7. Взаємне положення площин
Тема 8. плоскопаралельному переміщення. Обертання. Заміна площин проекцій

Нарисна геометрія входить до складу навчальної дисципліни федерального значення, назва якої в залежності від спеціальності: «Нарисна геометрія і інженерна графіка», «Інженерна та машинна графіка» або просто «Інженерна графіка». Інженерна графіка - це єдина дисципліна метою, якої є безпосередньо навчання студентів роботі з різною по вигляду і змісту графічної інформацією, основам графічного представлення інформації, методам графічного моделювання геометричних об'єктів, правилам розробки та оформлення конструкторської документації, графічних моделей явищ і процесів.

Тема 1. Проектування точки

Якщо інформацію про відстань точки відносно площини проекції дати не за допомогою числової позначки, а за допомогою другої проекції точки, побудованої на другий площині проекцій, то креслення називають двухкартінним або комплексним. Основні принципи побудови таких креслень викладені Г. Монжем.
Викладений Монжем метод - метод ортогонального проектування, причому беруться дві проекції на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій, - забезпечуючи виразність, точність і удобоізмерімость зображень предметів на площині, був і залишається основним методом складання технічних креслень

Малюнок 1.1 Точка в системі трьох площин проекцій

Модель трьох площин проекцій показана на малюнку 1.1. Третя площина, перпендикулярна і П1, і П2, позначається буквою П3 і називається профільною. Проекції точок на цю площину позначаються великими літерами або цифрами з індексом 3. Площини проекцій, попарно перетинаючись, визначають три осі 0x, 0y і 0z, які можна розглядати як систему декартових координат в просторі з початком в точці 0. Три площини проекцій ділять простір на вісім тригранних кутів - октантів. Як і раніше, будемо вважати, що глядач, який би розглядав предмет, знаходиться в першому Октант. Для отримання епюра точки в системі трьох площин проекцій площині П1 і П3 обертають до суміщення з площиною П2. При позначенні осей на епюрі негативні півосі зазвичай не вказують. Якщо істотно тільки саме зображення предмета, а не його положення щодо площин проекцій, то осі на епюрі не показують. Координатами називають числа, які ставлять у відповідність точці для визначення її положення в просторі або на поверхні. У тривимірному просторі положення точки встановлюють за допомогою прямокутних декартових координат x, y і z (абсциса, ордината і аппликата).

На початок сторінки

Тема 2. Проектування прямий

Для визначення положення прямої в просторі існують такі методи: 1.Двумя точками (А і В). Розглянемо дві точки в просторі А і В (рис. 2.1). Через ці точки можна провести пряму лінію отримаємо відрізок [AB]. Для того щоб знайти проекції цього відрізка на площині проекцій необхідно знайти проекції точок А і В і з'єднати їх прямою. Кожна з проекцій відрізка на площині проекцій менше самого відрізка: [A1B1] <[AB]; [A2B2] <[AB]; [A3B3] <[AB].

Малюнок 2.1 Визначення положення прямої по двох точках

2. Двома площинами (a; b). Цей спосіб завдання визначається тим що дві непаралельних площині перетинаються в просторі по прямої лінії (цей спосіб докладно розглядається в курсі елементарної геометрії).

3. Точкою і кутами нахилу до площин проекцій. Знаючи координати точки належить прямій і кути нахилу її до площин проекцій можна знайти положення прямої в просторі.

На початок сторінки

Тема 3. Положення прямої щодо площин проекцій. сліди прямої

Залежно від положення прямої по відношенню до площин проекцій вона може займати як загальне, так і приватні положення. 1. прямо не паралельна ні одній площині проекцій називається прямий загального положення (рис.3.1).

Малюнок 3.1 Пряма загального положення

2. Прямі паралельні площинам проекцій, займають приватна положення в просторі і називаються прямими рівня. Залежно від того, якій площині проекцій паралельна задана пряма, розрізняють:

2.1. Прямі паралельні горизонтальній площині проекцій називаються горизонтальними або горизонталями (рис.3.2).

Малюнок 3.2 Горизонтальна пряма

2.2. Прямі паралельні фронтальній площині проекцій називаються фронтальними або Фронтале (рис.3.3).

Малюнок 3.3 Фронтальна пряма

2.3. Прямі паралельні профільній площині проекцій називаються профільними (рис. 3.4).

Малюнок 3.4 Профільна пряма

3. Прямі, перпендикулярні площинах проекцій, називаються проектується. Пряма перпендикулярна одній площині проекцій, паралельна двом іншим. Залежно від того, якій площині проекцій перпендикулярна досліджувана пряма, розрізняють:

3.1. Фронтально-проектує пряма - АВ (рис. 3.5).

Малюнок 3.5 Фронтально-проектує пряма

3.2. Профільно проектує пряма - АВ (рис.3.6).

Малюнок 3.6 Профільно-проектує пряма

3.3. Горизонтально-проектує пряма - АВ (рис.3.7).

Малюнок 3.7 Горизонтально-проектує пряма

На початок сторінки

Тема 4. Площина. Способи завдання площин

Площина - одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії поняття площину зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії. Деякі характеристичні властивості площині: 1. Площина є поверхню, яка містить повністю кожну пряму, що сполучає будь-які її точки; 2. Площина є безліч точок, рівновіддалених від двох заданих точок.

Способи графічного завдання площин Положення площини в просторі можна визначити:

1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій лінії (рис.4.1).

Малюнок 4.1 Площина задана трьома точками, що не лежать на одній прямій

2. Прямий лінією і точкою, яка не належить цій прямій (рис.4.2).

Малюнок 4.2 Площина задана прямою лінією і точкою, яка не належить цій лінії

3. Двома пересічними прямими (рис.4.3).

Малюнок 4.3 Площина задана двома пересічними прямими лініями

4. Двома паралельними прямими (рис.4.4).

Малюнок 4.4 Площина задана двома паралельними прямими лініями

Тема 5. Положення площині. сліди площини

На початок сторінки

Різне становище площині щодо площин проекцій

Залежно від положення площини по відношенню до площин проекцій вона може займати як загальне, так і приватні положення.

1. площини не перпендикулярна ні однієї площини проекцій називається площиною загального положення. Така площина перетинає всі площини проекцій (має три сліди: - горизонтальний S 1; - фронтальний S 2; - профільний S 3). Сліди площини загального положення перетинаються попарно на осях в точках ax, ay, az. Ці точки називаються точками сходу слідів, їх можна розглядати як вершини тригранних кутів, утворених даної площиною з двома з трьох площин проекцій. Кожен з слідів площини збігається зі своєю однойменної проекцією, а дві інші різнойменні проекції лежать на осях (рис.5.1).

2. Площини перпендикулярні площинах проекцій - займають приватна положення в просторі і називаються проектується. Залежно від того, якій площині проекцій перпендикулярна задана площина, розрізняють:

2.1. Площина, перпендикулярна горизонтальної площини проекцій (S ^ П1), називається горизонтально-проецирующей площиною. Горизонтальна проекція такій площині є пряму лінію, яка одночасно є її горизонтальним слідом. Горизонтальні проекції всіх точок будь-яких фігур в цій площині збігаються з горизонтальним слідом (рис.5.2).

Малюнок 5.2 Горизонтально-проектує площину

2.2. Площина, перпендикулярна фронтальної площини проекцій (S ^ П2) - фронтально-проектує площину. Фронтальною проекцією площини S є пряма лінія, що збігається зі слідом S 2 (рис.5.3).

Малюнок 5.3 Фронтально-проектує площину

2.3. Площина, перпендикулярна профільної площини (S ^ П3) - профільно-проектує площину. Окремим випадком такій площині є биссекторной площину (рис.5.4).

Малюнок 5.4 Профільно-проектує площину

3. Площини паралельні площинам проекцій - займають приватна положення в просторі і називаються площинами рівня. Залежно від того, якій площині паралельні досліджувана площина, розрізняють:

3.1. Горизонтальна площина - площина паралельна горизонтальній площині проекцій (S // П1) - (S ^ П2, S ^ П3). Будь-яка фігура в цій площині проектується на площину П1 без спотворення, а на площині П2 і П3 в прямі - сліди площини S 2 і S 3 (рис.5.5).

Малюнок 5.5 Горизонтальна площина

3.2. Фронтальна площина - площина паралельна фронтальній площині проекцій (S // П2), (S ^ П1, S ^ П3). Будь-яка фігура в цій площині проектується на площину П2 без спотворення, а на площині П1 і П3 в прямі - сліди площини S 1 і S 3 (рис.5.6).

Малюнок 5.6 Фронтальна площина

3.3. Профільна площину - площину паралельна профільної площини проекцій (S // П3), (S ^ П1, S ^ П2). Будь-яка фігура в цій площині проектується на площину П3 без спотворення, а на площині П1 і П2 в прямі - сліди площини S 1 і S 2 (рис.5.7).

Малюнок 5.7 Профільна площину

Слідом площині називається лінія перетину площини з площинами проекцій. Залежно від того з якою з площин проекцій перетинається дана, розрізняють: горизонтальний, фронтальний і профільний сліди площини.

Кожен слід площини є прямою лінією, для побудови яких необхідно знати дві точки, або одну точку і напрямок прямої (як для побудови будь-якої прямої). На малюнку 5.8 показано знаходження слідів площини S (АВС). Фронтальний слід площини S 2, побудований, як пряма з'єднує дві точки 12 і 22, які є фронтальними слідами відповідних прямих, що належать площині S. Горизонтальний слід S1 - пряма, що проходить через горизонтальний слід прямої АВ і S x. Профільний слід S3 - пряма з'єднує точки (Sy і S z) перетину горизонтального і фронтального слідів з осями.

Малюнок 5.8 Побудова слідів площини

На початок сторінки

Тема 6. Взаємне розміщення прямої і площини, точки і площини

Визначення взаємного положення прямої і площини - позиційна задача, для вирішення якої застосовується метод допоміжних січних площин. Суть методу полягає в наступному: через пряму проведемо допоміжну січну площину Q і встановимо відносне положення двох прямих a і b, остання з яких є лінією перетину допоміжної січної площини Q і цій площині T (рис.6.1).

Малюнок 6.1 Метод допоміжних січних площин

Кожному з трьох можливих випадків відносного розташування цих прямих відповідає аналогічний випадок взаємного розташування прямої та площини. Так, якщо обидві прямі збігаються, то пряма а лежить в площині T, паралельність прямих вкаже на паралельність прямої і площини і, нарешті, перетин прямих відповідає випадку коли пряма а перетинає площину T. Таким чином можливі три випадки відносного розташування прямої і площини: Пряма належить площині; Пряма паралельна площині; Пряма перетинає площину, окремий випадок - пряма перпендикулярна площині. Розглянемо кожен випадок.

Аксіома 1. Пряма належить площині, якщо дві її точки належать тій же площині (рис.6.2).

Завдання. Дана площину (n, k) і одна проекція прямої m2. Потрібно знайти відсутні проекції прямої m якщо відомо, що вона належить площині, заданої пересічними прямими n і k. Проекція прямої m2 перетинає прямі n і k в точках В2 і С2, для знаходження відсутніх проекцій прямої необхідно знайти відсутні проекції точок В і С як точок лежать на прямих відповідно n і k. Таким чином точки В і С належать площині заданої пересічними прямими n і k, а пряма m проходить через ці точки, значить за аксіомою пряма належить цій площині.

Малюнок 6.2 Пряма і площина мають дві загальні точки

Аксіома 2. Пряма належить площині, якщо має з площиною одну спільну точку і паралельна будь-якої прямої розташованої в цій площині (рис.6.3).

Завдання. Через точку В провести пряму m якщо відомо, що вона належить площині заданої пересічними прямими n і k. Нехай В належить прямій n лежить в площині заданої пересічними прямими n і k. Через проекцію В2 проведемо проекцію прямої m2 паралельно прямий k2, для знаходження відсутніх проекцій прямої необхідно побудувати проекцію точки В1, як точки лежить на проекції прямої n1 і через неї провести проекцію прямої m1 паралельно проекції k1. Таким чином точки В належать площині заданої пересічними прямими n і k, а пряма m проходить через цю точку і паралельна прямій k, значить за аксіомою пряма належить цій площині.

Малюнок 6.3 Пряма має з площиною одну спільну точку і паралельна прямій розташованої в цій площині

Серед прямих ліній, що належать площині, особливе місце займають прямі, що займають приватна положення в просторі:

1. Горизонталі h - прямі, що лежать в даній площині і паралельні горизонтальній площині проекцій (h // П1) (рис.6.4).

Малюнок 6.4 Горизонталь

2. фронталі f - прямі, розташовані в площині і паралельні фронтальній площині проекцій (f // П2) (рис.6.5).

Малюнок 6.5 Фронтале

3. Профільні прямі р - прямі, які знаходяться в даній площині і паралельні профільній площині проекцій (р // П3) (рис.6.6). Слід зауважити, що сліди площини можна віднести теж до головних лініях. Горизонтальний слід - це горизонталь площини, фронтальний - фронталь і профільний - профільна лінія площині.

Малюнок 6.6 Профільна пряма

4. Лінія найбільшого ската і її горизонтальна проекція утворюють лінійний кут j, яким вимірюється двогранний кут, складений даної площиною і горизонтальною площиною проекцій (рис.6.7). Очевидно, що якщо пряма не має двох спільних точок з площиною, то вона або паралельна площині, або перетинає її.

Малюнок 6.7 Лінія найбільшого ската

Можливі два варіанти взаємного розташування точки і площини: або точка належить площині, або ні. Якщо точка належить площині то з трьох проекцій, що визначають положення точки в просторі, довільно задати можна тільки одну. Розглянемо приклад (рис.6.8): Побудова проекції точки А належить площині загального положення заданої двома паралельними прямими a (a // b).

Завдання. Дано: площину T (а, в) і проекція точки А2. Потрібно побудувати проекцію А1 якщо відомо, що точка А лежить в площині в, а. Через точку А2 проведемо проекцію прямої m2, що перетинає проекції прямих a2 і b2 в точках С2 і В2. Побудувавши проекції точок С1 і В1, що визначають положення m1, знаходимо горизонтальну проекцію точки А.

Малюнок 6.8. Точка, що належить площині

На початок сторінки

Тема 7. Взаємне положення площин

Дві площини в просторі можуть бути або взаємно паралельні, в окремому випадку збігаючись один з одним, або перетинатися. Взаємно перпендикулярні площині є окреме питання пересічних площин.

1. Паралельні площини. Площині паралельні, якщо дві пересічні прямі площині відповідно рівнобіжні двом пересічним прямим іншій площині. Це визначення добре ілюструється завданням, через точку В провести площину паралельну площині, заданої двома пересічними прямими ab (рис.7.1). Завдання. Дано: площину загального положення, задану двома пересічними прямими ab і точка В. Потрібно через точку В провести площину, паралельну площині ab і задати її двома пересічними прямими c і d. Згідно визначення якщо дві пересічні прямі площині відповідно рівнобіжні двом пересічним прямим іншій площині то ці площини паралельні між собою. Для того щоб провести на епюрі паралельні прямі необхідно скористатися властивістю паралельного проектування - проекції паралельних прямих - паралельні між собою d || a, з || b; d1 || a1, з1 || b1; d2 || a2, с2 || b2; d3 || a3, с3 || b3.

Малюнок 7.1. паралельні площини

2. Пересічні площини, окремий випадок - взаємно перпендикулярні площини. Лінія перетину двох площин є пряма, для побудови якої досить визначити дві її точки, загальні обом площинам, або одну точку і напрямок лінії перетину площин. Розглянемо побудову лінії перетину двох площин, коли одна з них проектує (рис.7.2).

Завдання. Дано: площину загального положення задана трикутником АВС, а друга площина - горизонтально проектує T. Потрібно побудувати лінію перетину площин. Рішення завдання полягає в знаходженні двох точок загальних для даних площин, через які можна провести пряму лінію. Площина, задана трикутником АВС можна уявити, як прямі лінії (АВ), (АС), (ВС). Точка перетину прямої (АВ) з площиною T - точка D, прямий (AС) -F. Відрізок [DF] визначає лінію перетину площин. Так як T - горизонтально проектує площину, то проекція D1F1 збігається зі слідом площини T1, таким чином залишається тільки побудувати відсутні проекції [DF] на П2 і П3.

Малюнок 7.2. Перетин площини загального положення з горизонтально проецирующей площиною

Перейдемо до загального випадку. Нехай в просторі задані дві площини загального положення a (m, n) і b (ABC) (рис.7.3).

Малюнок 7.3. Перетин площин загального положення

Розглянемо послідовність побудови лінії перетину площин a (m // n) і b (АВС). За аналогією з попередньою завданням для знаходження лінії перетину даних площин проведемо допоміжні січні площини g і d. Знайдемо лінії перетину цих площин з розглянутими площинами. Площина g перетинає площину a по прямій (12), а площину b - по прямій (34). Точка К - точка перетину цих прямих одночасно належить трьом площинам a, b і g, будучи таким чином точкою належить лінії перетину площин a і b. Площина d перетинає площині a і b за прямими (56) і (7C) відповідно, точка їх перетину М розташована одночасно в трьох площинах a, b, d і належить прямій лінії перетину площин a і b. Таким чином знайдені дві точки належать лінії перетину площин a і b - пряма (КМ).

Деякого спрощення при побудові лінії перетину площин можна досягти, якщо допоміжні січні площини проводити через прямі, що задають площину.

Взаємно перпендикулярні площини. З стереометрії відомо, що дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до іншої. Через точку А можна провести безліч площин перпендикулярних цій площині a (f, h). Ці площини утворюють в просторі пучок площин, віссю якого є перпендикуляр опущений з точки А на площину a. Для того щоб з точки А провести площину перпендикулярну площині заданої двома пересічними прямими hf необхідно з точки А провести пряму n перпендикулярну площині hf (горизонтальна проекція n перпендикулярна горизонтальної проекції горизонталі h, фронтальна проекція n перпендикулярна фронтальної проекції фронталі f). Будь-яка площина проходить через пряму n буде перпендикулярна площині hf, тому для встановлення площини через точки А проводимо довільну пряму m. Площина задана двома пересічними прямими mn буде перпендикулярна площині hf (рис.7.4).

Малюнок 7.4. Взаємно перпендикулярні площини

На початок сторінки

Тема 8. плоскопаралельному переміщення. Обертання. Заміна площин проекцій

Зміна взаємного положення проектованого об'єкта і площин проекцій методом плоскопараллельного переміщення здійснюється шляхом зміни положення геометричного об'єкта так, щоб траєкторія руху її точок перебувала в паралельних площинах. Площині носії траєкторій переміщення точок паралельні будь-якої площини проекцій (рис. 8.1). Траєкторія довільна лінія. При паралельному перенесенні геометричного об'єкта щодо площин проекцій, проекція фігури хоча і змінює своє положення, але залишається конгруентної проекції фігури в її початковому положенні.

Малюнок 8.1 Визначення натуральної величини відрізка методом плоскопараллельного переміщення

Властивості плоскопараллельного переміщення:

1. При будь-якому переміщенні точок в площині паралельній площині П1, її фронтальна проекція переміщається по прямій лінії, паралельної осі х.

2. У разі довільного переміщення точки в площині паралельної П2, її горизонтальна проекція переміщається по прямій паралельній осі х.

Площині носій траєкторій переміщення точок паралельні площині проекцій. Траєкторія - дуга окружності, центр якої знаходиться на осі перпендикулярної площині проекцій. Для визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення АВ (рис. 8.2), виберемо вісь обертання (i) перпендикулярну горизонтальній площині проекцій і проходить через В1. Повернемо відрізок так, щоб він став паралельний фронтальній площині проекцій (горизонтальна проекція відрізка паралельна осі x). При цьому точка А1 переміститися в А'1, а точка В не змінить свого положення. Положення точки А'2 знаходиться на перетині фронтальної проекції траєкторії переміщення точки А (пряма лінія паралельна осі x) та лінії зв'язку проведеної з А'1. Отримана проекція В2 А'2 визначає натуральну величину самого відрізка.

Малюнок 8.2 Визначення натуральної величини відрізка методом обертання навколо осі перпендикулярної горизонтальній площині проекцій

Розглянемо цей спосіб на прикладі визначення кута між пересічними прямими (ріс.8.3). Розглянемо дві проекції пересічних прямих а і в які перетинаються в точці К. Для то щоб визначити натуральну величину кута між цими прямими необхідно зробити перетворення ортогональних проекцій так, щоб прямі стали паралельні площині проекцій. Скористаємося способом обертання навколо лінії рівня - горизонталі. Проведемо довільно фронтальну проекцію горизонталі h2 паралельно осі Ох, яка перетинає прямі в точках 12 і 22. Визначивши проекції 11 і 11, побудуємо горизонтальну проекцію горизонталі h1. Траєкторія руху всіх точок при обертанні навколо горизонталі - окружність, яка проектується на площину П1 у вигляді прямої лінії перпендикулярної горизонтальній проекції горизонталі.

Малюнок 8.3 Визначення кута між пересічними прямими, обертанням навколо осі паралельної горизонтальній площині проекцій

Таким чином, траєкторія руху точки К1 визначено прямий К1О1, точка Про центр окружності - траєкторії руху точки К. Щоб знайти радіус цієї окружності знайдемо методом трикутника натуральну величину відрізка КО Продовжуючи пряму К1О1 так щоб | О1К'1 | = | КО | . Точка К'1 відповідає точці К, коли прямі а і в лежать в площині паралельної П1 і проведеної через горизонталь - вісь обертання. З огляду на це через точку К'1 і точки 11 і 21 проведемо прямі, які лежать тепер в площині паралельної П1, а отже і кут фи - натуральна величина кута між прямими а і в.

Зміна взаємного положення проектованої фігури і площин проекцій методом зміни площин проекцій, досягається шляхом заміни площин П1 і П2 новими площинами П4 (рис. 8.4). Нові площині вибираються перпендикулярно старим. Деякі перетворення проекцій вимагають подвійної заміни площин проекцій (рис. 8.5). Послідовний перехід від однієї системи площин проекцій інший необхідно здійснювати, виконуючи наступне правило: відстань від нової проекції точки до нової осі має дорівнювати відстані від замінної проекції точки до замінної осі.

Завдання 1: Визначити натуральну величину відрізка АВ прямої загального положень (рис. 8.4). З властивості паралельного проектування відомо, що відрізок проектується на площину в натуральну величину, якщо він паралельний цій площині. Виберемо нову площину проекцій П4, паралельно відрізку АВ і перпендикулярно площині П1. Введенням нової площині, переходимо з системи площин П1П2 в систему П1П4, причому в новій системі площин проекція відрізка А4В4 буде натуральною величиною відрізка АВ.

Малюнок 8.4. Визначення натуральної величини відрізка прямої методом заміни площин проекцій

Завдання 2: Визначити відстань від точки C до прямої загального положення, заданою відрізком АВ (рис. 8.5).

Малюнок 8.5. Визначення натуральної величини відрізка прямої методом заміни площин проекцій

На початок сторінки