Якунін В. І.1, Гузненков В. Н.2, Журбенко П. А.3, Осіпук А. А.4

1Доктор технічних наук; 2Доктор педагогічних наук, доцент; 3Старшій викладач; 4Ассістент, Московської державний технічний університет імені Н. Е. Баумана

МЕТОДИ КЛАСИЧНОЇ ПРИКЛАДНОЇ ГЕОМЕТРІЇ В ТЕХНІЧНОЇ ЗАСТОСУВАННЯ

анотація

У статті розглянуті моделі в класичній геометрії, їх розвиток, способи створення, можливості поєднання аналітичних і графічних методів, вплив нарисної геометрії на конструювання поверхонь. Наведено дослідження поверхонь загального вигляду, як можливість впровадження в класичне зміст суміжних геометричних дисциплін. Розглянуто побудову бінарного поля номограми, що дозволяє аналізувати кривизни в будь-яких точках криволінійної поверхні, заданої аналітично або неявній формі. Отримано результати для всіх мінімальних поверхонь.

Ключові слова: дослідження поверхонь, номографіческіе метод, нарисна геометрія.

Yakunin VI1, Guznenkov VN2, Zhurbenko PA3, Osipuk AA4

1PhD in Engineering, 2 PhD in Pedagogy, Associate professor; 3Senior lecturer, 4Teacher assistant, Bauman Moscow State Technical University

APPLIED MOTHODS OF CLASSICAL GEOMETRY IN TECHNICAL APPLICATIONS

Annotation

The article considers the models of classical geometry, their development, methods of creation, opportunities combination of analytical and graphical methods, descriptive geometry influence on the design surface. Surface general type research was conducted as the possibility of introducing the classical geometric content related disciplines . In this topic consider t he construction of a binary field nomogram that allows to analyze the curvature at any point of the curved surface defined analytically or implicitly . The results obtained for all minimal surfaces.

Keywords: research of surfaces, nomogrammic method, descriptive geometry.

Підстави нарисної геометрії відносяться до XVIII-XIX ст. Це була дуже диференційована наукова дисципліна, елементи якої, і разом з тим її основний науковий зміст, були розроблені і систематизовані видатним французьким геометром, різнобічним мислителем і філософом Гаспаром Монжем. Цей учений надавав великого значення нарисної геометрії як глибокої наукової і педагогічної дисципліни.

Досить навести його педагогічний коментар: «Якби мені знову довелося почати цю роботу (мова йде про написання курсу нарисної геометрії), я надрукував би її в два стовпці: в першому я помістив би рішення геометричних задач шляхом обчислення, а в другому - рішення тих ж завдань, але сповнене шляхом графічних побудов. Читачі були б, мабуть, дуже здивовані, побачивши, що другий стовпець майже завжди заслуговував би перевагу, як по ясності, так і по простоті доказів ». [1]

Все це дало можливість встановити двоїстий характер нарисної геометрії, зарахувавши її до класу прикладний наук, і привласнити їй друге, більш загальне визначення - прикладної геометрії. Це, зокрема, пояснюється тим, що нарисна геометрія відіграє значну роль в самій математиці, будучи її складовою в механіці, фізиці, а також в кристалографії, живопису, медицині, в конструюванні найрізноманітніших об'єктів в літакобудуванні, вертольотобудування і т.д. Про це всерйоз і грунтовно згадується в книзі Джона Хоргана «Кінець науки (або погляд на обмеженість знання на заході століття науки)», С.-П. «Амфора», 2001 р .: «Прикладна наука буде жити довгий час, тому що вчені продовжать розробку нових універсальних конструкцій і матеріалів: більш швидких і складних комп'ютерів, нових і ефективних генно-інженерних технологій, що роблять нас здоровіше, сильніше, збільшують тривалість життя і все більш повно спираються на досягнення математики, в тому числі і вищої прикладної геометрії ».

Слід зазначити важливу особливість всякого геометричного знання - ступінь її візуалізації, що сприяє універсальної можливості її застосування.

Так, ще академік А.Н. Колмогоров писав: «Однак всюди, де це можливо, математики прагнуть зробити досліджувані ними проблеми геометрично наочними, тому геометрична інтуїція, геометричне уяву, просторові уявлення, всілякі геометричні їх інтерпретації грають істотну роль в процесі вивчення різних розділів математики, фізики, техніки і т. д. ».

Якщо взяти до уваги типологію і систематику процесу виникнення нових областей знання, то прикладну геометрію можна віднести як до типу А, так і до типу С. Пояснимо все сказане, посилаючись на відповідні характеристики.

Тип А. Процес його виникнення складається з можливостей і потреб дослідження нових, невідомих раніше, або досліджувалися спорадично предметних областей. У нашому випадку основною складовою є простір рішення загальних технічних проблем, засноване на геометричних методах, що застосовуються в нарисної геометрії плюс САПР (тут мається на увазі смисловий еквівалент англійського слова CAD, що означає проектування за допомогою ЕОМ). У змістовному сенсі більш детально це геометричне конструювання, можливості автоматизації якого забезпечуються використанням цифрових обчислювальних засобів, а також як створення і перетворення накопиченої інформації з використанням ЕОМ. У сучасному тлумаченні це розуміється як машинне геометричне моделювання.

Тип С. Безпосередні зв'язку двох або трьох традиційних дисциплін сприяє консолідації предметів окремих наук і ведуть до виникнення прикордонних дисциплін. В цьому випадку провідну роль набувають ті проблеми, які вирішуються на стику окремих галузей знань. Таким чином, виникнення нових галузей знань відбувається не в результаті свавілля і суб'єктивних схильностей вчених, а являє суто об'єктивний процес.

Утворення такого роду прикордонних наукових дисциплін нічого не змінює в подальшому існуванні «материнських дисциплін». У минулому столітті для інженерної підготовки основним завданням нарисної геометрії було - навчити мислити просторово, вирішувати завдання на епюрі Монжа, в аксонометрии і т.д.

Від інших геометричних наук, тобто від аналітичної, диференціальної або проективної геометрії, нарисна геометрія відрізняється своїм методом. Справді, метод нарисної геометрії полягає в побудові і вивченні відображень об'єктів дійсного світу, що дозволяють встановлювати необхідні закономірності і вирішувати пов'язані з цієї області завдання. Дуже важливо підкреслити, що нарисна геометрія як наука збагачувалася і збагачується новими ідеями і новими методами дослідження, що цілком природно, якщо враховувати нерівномірність розвитку інших наук. Так, на накреслювальну геометрію серйозне і благотворний вплив зробило розвиток аналітичної та проективної геометрії, багатовимірної геометрії і топології.

Але якщо говорити про стан вищої нарисної геометрії в XX і XXI століттях, то зараз, як і раніше, мали і мають велике значення прикладні завдання в області механіки, теорії механізмів і машин, нової техніки, а також САПР і фундаментальних результатів обчислювальної техніки.

Так в XX столітті відомий радянський геометр з Ярославля професор З.А. Скопець довів придатність і можливість застосування методів нарисної геометрії до дослідження і вирішення завдань проективної неевклідової геометрії. З цього приводу зберігає свою актуальність висловлювання видатного французького геометра, засновника аналітичної геометрії, Р. Декарта: «Все науки настільки пов'язані між собою, що легше вивчати їх усі відразу, ніж будь-яку одну з них окремо від усіх інших». Говорячи про геометрії в широкому сенсі слова, доречно згадати про тих фундаментальних ідеях, які висловив німецький геометр Ф. Клейн у своїй «Ерлангенском програмі» (1872).

Речі йде про будову геометрії, про її підставах, що базуються на теорії перетворень. Клейн запропонував систематику геометричних дисциплін по класу перетворень, що превалюють в них. За основу взято лінійні аффінниє перетворення, тобто цілі лінійні підстановки змінних x, y, z, тобто

Таким чином мова йде про ті елементи, які залишаються незмінним щодо определённо1 групи перетворень. Також елементи називаються інваріантами. За Клейну геометрія є такими чином теорією інваріантів лінійних підстановок.

Отже, афінна геометрія це, по суті теорія інваріантів афінних перетворень. Використовуючи теорію інваріантів, можна побудувати проективну геометрію на підставі проектних, тобто дрібно-лінійних перетворенні, а саме:

які включають аффінниє перетворення як окремі випадки. Отже, проектна геометрія виступає як теорія інваріантів проектних перетворень.

Слідуючи тим же принципом можна перейти від метричної геометрії також і до інших видів геометрій. Отже, тут доречно пояснити, що різні геометрії різняться групою перетворень, щодо яких вони інваріантні, методом і аксіоматичної базою. Так, на початковому етапі викладу в аналітичної геометрії розглядаються властивості тих же лінійних образів простору, що і в нарисної геометрії, але для їх дослідження використовується апарат алгебри, в диференціальної геометрії застосовується апарат нескінченно-малих і т.д. Це коментар дозволяє встановити більш тісні контактні зв'язки між різними дисциплінами, сприяє розширенню, поглибленню геометричного знання і зміцнення розумових операцій. Як справедливо зауважив Декарт: «Метод полягає в упорядкуванні того, на що повинен бути спрямоване вістря розуму з метою відкриття будь-якої істини».

Зауважимо, що сучасний розвиток науки характерно прагненням до виділення систем досліджуваних об'єктів, коли досліджувані елементи системи утворюють деяку множину абстрактних об'єктів і явищ реального світу, об'єднаних наявністю між ними широких взаємозв'язків, в силу яких часом, дослідження властивостей окремого взятого об'єкта, системи стає скрутним.

Конструювання - це одна з підсистем галузей промисловості, це багатопараметрична система, тому вплив одних параметрів на інші, їх взаємопов'язаність може становити зміст важливих науково-дослідних робіт, в яких методи оптимізації вибору параметрів природним чином вливаються в системи автоматизації. У той час як виділення системи призводить до об'єднання в єдине безліч різних взаємозв'язаних об'єктів, процесів, явищ, моделювання являє собою процес відтворення одного окремо взятого об'єкта або групи об'єктів. Модель об'єкта будується так, щоб вона була його аналогом. Найбільш поширеними є фізичні, математичні, хімічні моделі.

Паралельно з фізичними моделями в процесах в процесах пізнання природи створюються математичні моделі. На відміну від фізичної моделі математична модель не має природу, відповідну природі об'єкта, що моделюється. Також модель включає в себе абстрактні об'єкти і пропозиції, що описують відносини між ними. Функціонування математичної моделі визначається тими ж рівняннями, які описують відносини, взаємозв'язки між модельованими об'єктами. Одне з визначень математичної моделі звучить так: «Якщо деяка математична система визначається деякою системою аксіом, то будь-яка система об'єктів, що задовольняє цим аксіомам, вважається моделлю абстрактної системи». Наприклад, моделлю лінійного тривимірного простору є сукупність векторів, що розглядається як класи еквівалентно-орієнтованих відрізків.

Найбільш ранніми за часом виникнення і найбільш повними для визначеного рівня розвитку людства з'явилися моделі дійсних чисел і геометрії Евкліда. Моделі ці створювалися і уточнювалися протягом тисячолітньої практики людства. Вони послужили базою для розвитку нових більш складних математичних моделей. Ось деякі з них: моделі з однією визначальною операцією (теорія абстрактних груп); моделі з двома визначальними операціями (кільця, поля); абстрактні простори з різною аксіоматикою і різної метрикою моделі, що допускають визначення граничних процесів (топологічні простори) і багато інших, аж до алгебри логіки, що оперує символами висловлювань та символами операцій. Не можна обійти увагою і кібернетичні моделі, що представляють собою синтез фізичних і математичних моделей з їх системами рівнянь. Прикладами таких моделей є роботи. Це на думку академіка І.І. Артоболевського ознака XXI століття.

Зупинимося на визначенні моделей (вторинні моделі). Їх поява пов'язана з необхідністю побудови нових моделей, що моделюють в свою чергу раніше створені моделі. Головною вимогою до створюваних вторинним моделям є однозначність відображення в них основних взаємозв'язків між об'єктами вихідних моделей. Так одна і та ж математична модель може мати кілька вторинних моделей. Наприклад, модель евклідового простору в якості вторинних моделей має широко відомі координатну модель і графічну у вигляді епюр Монжа. Вторинними моделями афінного простору можуть служити моделі лінійного простору. Вироджені лінійні перетворення породжують лінійну і паралельну аксонометрію як моделі афінного простору.

У нарисної геометрії отримано велику кількість проекційних і не проекційних методів графічного відображення геометричних фігур: метод двох зображень; двох слідів; метод Монжа; полярні методи; аксонометричні методи перспектив і т.д. Всі вони розраховані на графічне відображення якогось одного з абстрактних просторів: евклидово, афінного, проектованого, коевклідова, неевклидова і т.д.

Конструктивна геометрія - це розділ геометрії, в якому вивчаються методи і теорія геометричних побудов. Деякі фахівці (Массачусетський технологічний інститут) пропонують включити в конструктивну геометрію номографії, накреслювальну геометрію креслення, теорію графів і графічні методи дослідження процесів.

Сукупність усіх цих графічних дисциплін пропонується назвати «графічної геометрією». Можна дати інше визначення - прикладної геометрією. Прикладна геометрія - це синтетична наука, що займається розробкою кібернетичних моделей і вирішальна інженерно-геометричні задачі конструювання і технології. Прикладна геометрія розробляє різні системи алгоритмів як основу для автоматичного проектування різних об'єктів і їх взаємозв'язків.

Сприятливий вплив апарату диференціальної і обчислювальної геометрії привело до модернізованим способам конструювання поверхонь, визначенню геодезичних ліній на них, побудови різного роду намоток, встановлення метричних властивостей на поверхнях будь-якого виду. Так, якщо поверхня задана в векторно-скалярної формі r = r (φ) або , Де - одиничні вектори, то практично можна визначити метрику поверхні і її кривизну. В цьому випадку побудувавши внутрішню геометрію поверхні можна вирішувати складні завдання розгорток поверхонь і т.д.

нехай або (1). Вектори ru, rv і, отже, їх скалярні твори, є функції від u і v, тому вони залежать тільки від вибору (положення) точки М (u, v). Введемо скорочені позначення, запропоновані К. Гауссом, . Тепер формула (1) може бути представлена ​​у вигляді (1). Вираз у правій частині називається першою основною квадратичною формою поверхні. Це співвідношення дозволяє визначати довжини дуг кривих на поверхні, тобто . Цей невеличкий коментар свідчить про важливість застосування диференціальної геометрії в прикладної геометрії поверхонь.

У Сейчас годину Нарисна геометрія, Завдяк Високому рівню мотівації продовження наукових досліджень и їх технічної затребуваності, стала надійнім науковим апаратом, с помощью которого вірішуються найскладніші Прикладні завдання в різніх областях науки и техніки. Разом з тим розробляються и Нові Способи модернізації проекційніх методів. До розвитку і застосування методів прикладної геометрії можна з повною підставою застосувати чудову думку видатного фізика минулого століття Вернера Гейзенберга: «Інтелектуальна сила науки полягає в особливому способі узагальнення, що дозволяє охопити єдиним поглядом різнорідні явища і давати цим явищам єдине пояснення».

Говорячи про можливість впровадження в класичне зміст суміжних геометричних дисциплін, вважаємо за доцільне провести дослідження поверхонь загального вигляду візуальними гомографіческімі методами. Отже, нехай така поверхня визначається неявним рівнянням F (x, y, z) = 0. Це природно довільна криволинейная поверхню. Нас цікавить поведінка кривизни в різних (не особливо) точках поверхні. Для будь-якої такої точки поверхні радіуси кривизни нормальних перетинів з головних напрямків індикатриси Дюпена задовольняють рівняння Ейлера або . Це рівняння по своїй аналітичній структурі з точки зору номографії належить до канонічної формі Коші з бінарним полем.

література

1. Курдюмов В.І. Курс нарисної геометрії. Ортогональні проекції. - СПб, 1985.
2. Іванов Г.С., Жирних Б.Г. Геометричне забезпечення побудови гладких сполучень з відсіків конічних поверхонь другого порядку // Інженерний вісник. - 2015. - № 6. - С. 20.
3. Іванов Г.С. Конструктивний метод вивчення властивостей параметрически заданих кривих // Геометрія і графіка. - 2014. - Т. 2. - № 3. - С. 3-6.
4. Нартова Л.Г., Гузненков В.Н. Ідеї ​​і методи прикладної геометрії та їх застосування в техніці // Міжнародний науково-дослідний журнал. - 2015. - № 8-2. - С. 46-50.
5. Гузненков В.Н. Геометро-графічне освіту в технічному університеті // Alma mater (Вісник вищої школи). - 2014. - № 10. - С. 71-75.
6. Серьогін В.І., Іванов Г.С., Боровиков І.Ф., Сенченкова Л.С. Геометричні перетворення в нарисної геометрії та інженерної графіки // Геометрія і графіка. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 23-28.
7. Гузненков В.Н., Якунін В.І. Геометро-графічна підготовка як інтегруючий фактор освітнього процесу // Освіта і суспільство. - 2014. - № 2. - С. 26-28.
8. Серьогін В.І., Іванов Г.С., Дмитрієва І.М., Муравйов К.А. Міждисциплінарні зв'язки нарисної геометрії і суміжних розділів вищої математики // Геометрія і графіка. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 8-12.
9. Гузненков В.Н. Формування геометро-графічного освіти в технічному університеті: монографія. - Москва: Видавництво МГТУ ім. Н.е. Баумана, 2014. - 226 с.
10. Якунін В.І., Гузненков В.Н. Геометричність моделювання як узагальнення методів прикладної геометрії та ее розділів // Інтеграл. - 2012. - № 5. - С. 120-121.
11. Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Модель як ключовими Поняття геометро-графічної подготовки // Alma mater (Вісник вищої школи). - 2013. - № 4. - С. 82-87.
12. Боровиков І.Ф., Іванов Г.С. Геометричні перетворення в інженерної геометрії // Наука і освіта: наукове видання МГТУ ім. Н.е, Баумана, 2015. - № 5. - С. 334-347.
13. Іванов Г.С., Дмитрієва І.М. Інтегрований курс геометрії і лінійної алгебри як засіб формування математичної підготовки студентів технічних вузів // Омський науковий вісник. - 2010. - № 5 (91). - С. 205-208.
14. Іванов Г.С., Дмитрієва І.М. Про завдання нарисної геометрії з уявними рішеннями // Геометрія і графіка. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8.
15. Якунін В.І., Гузненков В.Н., Журбенко П.А. Геометричність моделювання як міждісціплінарній мову // Дискусія. - 2012. - № 12. - С. 161-166.
16. Іванов Г.С., Дмитрієва І.М. До вибору посередника при вирішенні першого позиційної задачі // Геометрія і графіка. - 2015. - Т. 3. - № 1. - С. 26-30.

References

1. Kurdjumov VI Kurs nachertatel'noj geometrii. Ortogonal'nye proekcii. - SPb, 1985.
2. Ivanov GS, Zhirnyh BG Geometricheskoe obespechenie postroenija gladkih soprjazhenij iz otsekov konicheskih poverhnostej vtorogo porjadka // Inzhenernyj vestnik. - 2015. - № 6. - S. 20.
3. Ivanov GS Konstruktivnyj sposob issledovanija svojstv parametricheski zadannyh krivyh // Geometrija i grafika. - 2014. - T. 2. - № 3. - S. 3-6.
4. Nartova LG, Guznenkov VN Idei i metody prikladnoj geometrii i ih primenenie v tehnike // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. - 2015. - № 8-2. - S. 46-50.
5. Guznenkov VN Geometro-graficheskoe obrazovanie v tehnicheskom universitete // Alma mater (Vestnik vysshej shkoly). - 2014. - № 10. - S. 71-75.
6. Seregin VI, Ivanov GS, Borovikov IF, Senchenkova LS Geometricheskie preobrazovanija v nachertatel'noj geometrii i inzhenernoj grafike // Geometrija i grafika. - 2015. - T. 3. - № 2. - S. 23-28.
7. Guznenkov VN, Jakunin VI Geometro-graficheskaja podgotovka kak integrirujushhij faktor obrazovatel'nogo processa // Obrazovanie i obshhestvo. - 2014. - № 2. - S. 26-28.
8. Seregin VI, Ivanov GS, Dmitrieva IM, Murav'ev KA Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i smezhnyh razdelov vysshej matematiki // Geometrija i grafika. - 2013. - T. 1. - № 3-4. - S. 8-12.
9. Guznenkov VN Formirovanie geometro-graficheskogo obrazovanija v tehnicheskom universitete: monografija. - Moskva: Izdatel'stvo MGTU im. N.Je. Baumana, 2014. - 226 s.
10. Jakunin VI, Guznenkov VN Geometricheskoe modelirovanie kak obobshhenie metodov prikladnoj geometrii i ee razdelov // Integral. - 2012. - № 5. - S. 120-121.
11. Guznenkov VN, Zhurbenko PA Model 'kak kljuchevoe ponjatie geometro-graficheskoj podgotovki // Alma mater (Vestnik vysshej shkoly). - 2013. - № 4. - S. 82-87.
12. Borovikov IF, Ivanov GS Geometricheskie preobrazovanija v inzhenernoj geometrii // Nauka i obrazovanie: nauchnoe izdanie MGTU im. N.Je, Baumana, 2015. - № 5. - S. 334-347.
13. Ivanov GS, Dmitrieva IM Integrirovannyj kurs geometrii i linejnoj algebry kak sredstvo formirovanija matematicheskoj podgotovki studentov tehnicheskih vuzov // Omskij nauchnyj vestnik. - 2010. - № 5 (91). - S. 205-208.
14. Ivanov GS, Dmitrieva IM O zadachah nachertatel'noj geometrii s mnimymi reshenijami // Geometrija i grafika. - 2015. - T. 3. - № 2. - S. 3-8.
15. Jakunin VI, Guznenkov VN, Zhurbenko PA Geometricheskoe modelirovanie kak mezhdisciplinarnyj jazyk // Diskussija. - 2012. - № 12. - S. 161-166.
16. Ivanov GS, Dmitrieva IM K vyboru posrednika pri reshenii pervoj pozicionnoj zadachi // Geometrija i grafika. - 2015. - T. 3. - № 1. - S. 26-30.