1. 1.2. паралельне проектування
2. 1.3. Ортогональное проектування. метод Монжа
3. 1.4. Прямокутні проекції точки. Властивості ортогонального креслення
4. Вправа
5. 1.5. Завдання для самостійного рішення

Проектування (лат. Projicio - кидаю вперед) - процес отримання зображення предмета (просторового об'єкта) на будь-якої поверхні за допомогою світлових або зорових променів (променів, умовно що з'єднують очей спостерігача з якою-небудь точкою просторового об'єкта), які називаються проектується.

Відомі два методи проектування: центральне і паралельне.

Центральне проектування полягає в проведенні через кожну точку (А, В, С, ...) зображуваного об'єкта і певним чином обраний центр проектування (S) прямої лінії (SA, SB, > ... - проецирующего променя).

SA, SB - проектують прямі (проектують промені).

Центральної проекцією точки називається точка перетину проецирующей прямої, що проходить через центр проектування і об'єкт проектування (точку), з площиною проекцій. Примітка: лівою клавішею миші можна перемістити точку в горизонтальній площині, при натисканні на точці лівою клавішею миші, зміниться напрямок переміщення і можна буде її перемістити по вертикалі.

Властивість 1. Кожній точці простору відповідає єдина проекція, але кожній точці площини проекцій відповідає безліч точок простору, що лежать на проецирующей прямий.

Доведемо це твердження.

На малюнку 1.1: точка А 1 - центральна проекція точки А на площині проекцій π1. Але цю ж проекцію можуть мати всі точки, що лежать на проецирующей прямий. Візьмемо на проецирующей прямий SA точку С. Центральна проекція точки С (С 1) на площині проекцій π1 збігається з проекцією точки А (А 1):

1. З ∈ SA;
2. SC ∩ π1 = C 1 → C 1 ≡ A 1.

Слід висновок, що по проекції точки можна судити однозначно про її положення в просторі.

Щоб усунути цю невизначеність, тобто зробити креслення оборотним, введемо ще одну площину проекцій (π2) і ще один центр проектування (S 2) (Малюнок 1.2).

Малюнок 1.2 - Ілюстрація 1-го і 2-го властивостей

Побудуємо проекції точки А на площині проекцій π2. З усіх точок простору тільки точка А має своїми проекціями А 1 на площину π1 і А 2 на π2 одночасно. Всі інші точки лежать на проектують променях матимуть хоча б одну відмінну проекцію від проекцій точки А (наприклад, точка В).

Властивість 2. Проекція прямої є пряма.

Доведемо дане властивість.

З'єднаємо точки А і В між собою (Малюнок 1.2). Отримаємо відрізок АВ, що задає пряму. Трикутник Δ SAB задає площину, позначену через σ. Відомо, що дві площини перетинаються по прямій: σ∩π1 = А 1 В 1, де А 1 В 1 - центральна проекція прямої, заданої відрізком АВ.

Метод центрального проектування - це модель сприйняття зображення оком, застосовується головним чином при виконанні перспективних зображень будівельних об'єктів, інтер'єрів, а також в кінотехніці і оптиці. Метод центрального проектування не вирішує основного завдання, що стоїть перед інженером - точно відобразити форму, розміри предмета, співвідношення розмірів різних елементів.

1.2. паралельне проектування

Розглянемо метод паралельного проектування. Накладемо три обмеження, які дозволять нам, нехай і на шкоду наочності зображення, отримати креслення зручнішим для використання його на практиці:

1. Видалимо обидва центри проекції в нескінченність. Таким чином, доб'ємося того, що проектують промені з кожного центру стануть паралельними, а, отже, співвідношення істинної довжини будь-якого відрізка прямої і довжини його проекції будуть залежати тільки від кута нахилу цього відрізка до площин проекцій і не залежать від положення центру проекцій;
2. Зафіксуємо напрям проектування щодо площин проекцій;
3. Розташуємо площині проекцій перпендикулярно один одному, що дозволить легко переходити від зображення на площинах проекцій до реального об'єкту в просторі.

Таким чином, наклавши ці обмеження на метод центрального проектування, ми прийшли до його окремого випадку - методу паралельного проектування (Малюнок 1.3) .Проецірованіе, при якому проектують промені, що проходять через кожну точку об'єкта, паралельно обраним напрямом проектування P, називається паралельним.

Малюнок 1.3 - Метод паралельного проектування

Введемо позначення:

Введемо позначення:

Р - напрям проектування;

π1 - горизонтальна площина проекцій;

A, B - об'єкти проектування - точки;

А 1 і В 1 - проекції точок А і В на площину проекцій π1.

Паралельної проекцією точки називається точка перетину проецирующей прямий, паралельної заданому напрямку проектування Р, з площиною проекцій π1.

Проведемо через точки А і В проектують промені, паралельні заданому напрямку проектування Р. Проектує промінь проведений через точку А перетне площину проекцій π1 в точці А 1. Аналогічно проектує промінь, проведений через точку В перетне площину проекцій в точці В 1. Поєднавши точки А 1 і В 1, отримаємо відрізок А 1 В 1 проекція відрізка АВ на площину π1.

1.3. Ортогональное проектування. метод Монжа

Якщо напрям проектування Р перпендикулярно площині проекцій p1, проекція цього називається прямокутним (Малюнок 1.4), або ортогональним (грец. Ortos - прямий, gonia - кут), якщо р не перпендикулярно π1, проекція цього називається косокутних.

Чотирикутник АА 1 В 1 В задає площину π, яка називається проецирующей, оскільки вона перпендикулярна до площини π1 (γ⊥π1). Надалі будемо використовувати тільки прямокутне проектування.

Малюнок 1.4 - Ортогональное проектування

Малюнок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Основоположником ортогонального проектування вважається французький вчений Гаспар Монж (Малюнок 1.5).

До Монжа будівельники, художники і вчені мали досить значними відомостями про проекційних способах, і, все ж, тільки Гаспар Монж є творцем нарисної геометрії як науки.

Гаспар Монж народився 9 травня 1746 в невеликому містечку Боні (Бургундія) на сході Франції в родині місцевого торговця. Він був старшим з п'яти дітей, яким батько, незважаючи на низьке походження і відносну бідність сім'ї, постарався забезпечити найкращу освіту з доступного в той час для вихідців з незнатного стану. Його другий син, Луї, став професором математики і астрономії, молодший - Жан також професором математики, гідрографії і навігації. Гаспар Монж отримав початкову освіту в міській школі ордена ораторіанців. Закінчивши її в 1762 році кращим учнем, він вступив до коледжу м Ліона, також належав ораторіанців. Незабаром Гаспару довіряють там викладання фізики. Влітку 1764 року Монж склав чудовий по точності план рідного міста Бона. Необхідні при цьому способи та прилади для вимірювання кутів і креслення ліній були винайдені самим укладачем.

Під час навчання в Ліоні отримав пропозицію вступити в орден і залишитися викладачем коледжу, проте, замість цього, проявивши великі здібності до математики, креслення і малювання, зумів вступити в Мезьерськой школу військових інженерів, але (через походження) тільки на допоміжне унтер офіцерське відділення і без грошового утримання. Проте, успіхи в точних науках і оригінальне вирішення однієї з важливих завдань фортифікації (про розміщення укріплень в залежності від розташування артилерії противника) дозволили йому в 1769 році стати асистентом (помічником викладача) математики, а потім і фізики, причому вже з пристойним платнею в 1800 ліврів на рік.

У 1770 році у віці 24-х років Монж обіймає посаду професора одночасно за двома кафедрам - математики і фізики, і, крім того, веде заняття з різання каменів. Почавши з завдання точної різки каміння за заданими ескізами стосовно до архітектури і фортифікації, Монж прийшов до створення методів, узагальнених їм згодом в новій науці - нарисної геометрії, творцем якої він по праву вважається. З огляду на можливість застосування методів нарисної геометрії в військових цілях при будівництві укріплень, керівництво Мезьерськой шкіл не допускало відкритої публікації аж до 1799 року, книга вийшла під назвою Нарисна геометрія (Géométrie descriptive) (стенографічний запис цих лекцій була зроблена в 1795 році). Викладений в ній підхід до читання лекцій по цій науці і виконання вправ зберігся до наших днів. Ще один значний працю Монжа - Додаток аналізу до геометрії (L'application de l'analyse à la géometrie, 1795) - являє собою підручник аналітичної геометрії, в якому особливий акцент робиться на диференціальних співвідношеннях.

У 1780 був обраний членом Паризької академії наук, в 1794 став директором Політехнічної школи. Протягом восьми місяців займав пост морського міністра в уряді Наполеона, завідував пороховими і гарматними заводами республіки, супроводжував Наполеона в його експедиції в Єгипет (1798-1801). Наполеон подарував йому титул графа, удостоїв багатьох інших відмінностей.

Метод зображення об'єктів по Монжу полягає в двох основних моментах:

1. Положення геометричного об'єкта в просторі, в даному прикладі точки А, розглядається щодо двох взаємно перпендикулярних площин π1 і π2 (Малюнок 1.6).

Вони умовно поділяють простір на чотири квадранта. Точка А розташована в першому квадраті. Декартова система координат послужила основою для проекцій Монжа. Монж замінив поняття осей проекцій на лінію перетину площин проекцій (координатні осі) і запропонував поєднати координатні площині в одну шляхом повороту їх навколо координатних осей.

Малюнок 1.6 - Модель побудови проекцій точки

π1 - горизонтальна (перша) площину проекцій

π2 - фронтальна (друга) площину проекцій

π1∩π2 - вісь проекцій (позначимо π2 / π1)

Розглянемо приклад проектування точки А на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій π1 і π2.

Опустимо з точки А перпендикуляри (проектують промені) на площині π1 і π2 і відзначимо їх підстави, тобто точки перетину цих перпендикулярів (проектують променів) з площинами проекцій. А 1 - горизонтальна (перша) проекція точки А; А 2 - фронтальна (друга) проекція точки А; АА 1 і АА 2 - проектують прямі. Стрілки показують напрям проектування на площині проекцій π1 і π2. Така система дозволяє однозначно визначити положення точки відносно площин проекцій π1 і π2:

АА 1⊥π1

А 2 А 0⊥π2 / π1 АА 1 = А 2 А 0 - відстань від точки А до площини π1

АА 2⊥π2

А 1 А 0⊥π2 / π1 АА 2 = А1А0 - відстань від точки А до площини π2

2. Сумісний поворотом навколо осі проекцій π2 / π1 площині проекцій в одну площину (π 1 з π 2), але так, щоб зображення не накладалися один на одного, (в напрямку α, Малюнок 1.6), отримаємо зображення, зване прямокутним кресленням ( малюнок 1.7):

Малюнок 1.7 - Ортогональний креслення

Прямокутний або ортогональний носить назву епюр Монжа.

Пряма А 2 А 1 називається лінією проекційної зв'язку, яка з'єднує різнойменні проекції точки (А 2 - фронтальну і А 1 - горизонтальну) завжди перпендикулярна осі проекцій (осі координат) А 2 А 1⊥π2 / π1. На епюрі відрізки, позначені фігурними дужками, є:

• А 0 А 1 - відстань від точки А до площини π2, відповідне координаті yа;
• А 0 А 2 - відстань від точки А до площини π1, відповідне координаті zА.

1.4. Прямокутні проекції точки. Властивості ортогонального креслення

1. Дві прямокутні проекції точки лежать на одній лінії проекційної зв'язку, перпендикулярній до осі проекцій.

2. Дві прямокутні проекції точки однозначно визначають її положення в просторі щодо площин проекцій.

Переконаємося в справедливості останнього твердження, для чого повернемо площину π1 в початкове положення (коли π1⊥π2). Для того, щоб побудувати точку А необхідно з точок А 1 і А 2 відновити проектують промені, а фактично - перпендикуляри до площин π1і π2, відповідно. Точка перетину цих перпендикулярів фіксує в просторі шукану точку А. Розглянемо прямокутний креслення точки А (Малюнок 1.8).

Малюнок 1.8 - Побудова епюра точки

Введемо третю (профільну) площину проекцій π3 перпендикулярну π1 і π2 (задана віссю проекцій π2 / π3).

Відстань від профільної проекції точки до вертикальної осі проекцій А '0 A 3 дозволяє визначити відстань від точки А до фронтальної площини проекцій π2. Відомо, що положення точки в просторі можна зафіксувати щодо декартової системи координат за допомогою трьох чисел (координат) A (X A; Y A; Z A) або щодо площин проекцій за допомогою її двох ортогональних проекцій (A 1 = (X A; Y A); A 2 = (X A; Z A)). На ортогональному кресленні по двох проекціях точки можна визначити три її координати і, навпаки, за трьома координатам точки, побудувати її проекції (Малюнок 1.9, а і б).

а б
Малюнок 1.9 - Побудова епюра точки по її координатами

По розташуванню на епюрі проекцій точки можна судити про її розташуванні в просторі:

• якщо на епюрі горизонтальна проекція точки А - А 1 лежить під віссю координат X, а фронтальна - А 2 - над віссю X, то можна говорити, що точка А належить 1-му квадранту;
• якщо на епюрі горизонтальна проекція точки А - А 1 лежить над віссю координат X, а фронтальна - А 2 - під віссю X, то точка А належить 3-му квадранту;
• якщо на епюрі горизонтальна і фронтальна проекції точки А - А 1 і А 2 лежать над віссю X, то точка А належить 2-му квадранту;
• якщо на епюрі горизонтальна і фронтальна проекції точки А - А 1 і А 2 лежать під віссю X, то точка А належить 4-му квадранту;
• якщо на епюрі проекція точки збігається з самою точкою, то значить - точка належить площині проекцій;
• точка, що належить площині проекцій або осі проекцій (осі координат), називається точкою приватного положення.

Для визначення в якому квадраті простору розташована точка, досить визначити знак координат точки.

Залежно квадранта положення точки і знаків координат X Y Z I + + + II + - + III + - - IV + + -

Вправа

Побудувати ортогональні проекції точки з координатами А (60, 20, 40) і визначити в якому квадраті розташована точка.

Рішення завдання: по осі OX відкласти значення координати XA = 60, потім через цю точку на осі OX відновити лінію проекційної зв'язку, перпендикулярну до OX, по якій вгору відкласти значення координати ZA = 40, а вниз - значення координати YA = 20 (Малюнок 1.10 ). Всі координати позитивні, значить точка розташована в I квадраті.

Малюнок 1.10 - Рішення задачі

1.5. Завдання для самостійного рішення

1. За епюру визначте положення точки відносно площин проекцій (Малюнок 1.11).

малюнок 1.11

2. Добудуйте відсутні ортогональні проекції точок А, В, С на площині проекцій π1, π2, π3 (Малюнок 1.12).

малюнок 1.12

3. Побудуйте проекції точки:

• Е, симетричною точці А відносно площини проекцій π1;
• F, симетричною точці В відносно площини проекцій π2;
• G, симетричною точці С щодо осі проекцій π2 / π1;
• H, симетричною точці D щодо биссекторной площині другого і четвертого квадрантів.

4. Побудуйте ортогональні проекції точки К, розташованої у другому квадраті і віддаленій від площин проекцій π1 на 40 мм, від π2 - на 15 мм.

З питань репетиторства з нарисної геометрії, ви можете зв'язатися будь-яким зручним способом в розділі Контакти . Можливо очне та дистанційне навчання по Skype: 1000 р. / Ак.ч.