1. ТЕСТ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ У ВУЗИ Ось уже шостий рік Науково-технічний центр "Університетський"...
2. Тест № 2
3. Тест № 3
4. ТЕСТ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ У ВУЗИ
5. Тест № 1
6. Тест № 2
7. Тест № 3
8. ТЕСТ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ У ВУЗИ
9. Тест № 1
10. Тест № 2
11. Тест № 3

ТЕСТ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ У ВУЗИ

Ось уже шостий рік Науково-технічний центр "Університетський" і журнал "Абітурієнт" проводять Всеросійське заочне тестування з математики для вступників до вузів.

Цей захід абітурієнти встигли полюбити. Щовесни сотні з тих, хто пройшов тестування, запрошувалися до вузів на дострокові іспити і ставали студентами вже в березні-травні, не чекаючи літніх вступних іспитів і всієї пов'язаної з цим нервування. Всього за ці роки в тестуванні в тій чи іншій формі брали участь близько 40 провідних московських вузів. Вони розсилали кожному учаснику тестування повну інформацію про всі заплановані на весну заходах: дострокових, репетиційних та вступних іспитах, тестуваннях, олімпіадах, Днях відкритих дверей та ін. Багато з них для учасників тестування оголошували пільги на вступних іспитах.

Дуже шкода, що Міністерство освіти РФ цієї весни, по суті, заборонив проведення дострокових іспитів. Тому частина вузів відмовилася від їх проведення, інші проводять, але називають їх регіональними олімпіадами. У зв'язку з цим заочне тестування як перший тур вступу до вузу в значній мірі втратила свою силу. Проте навіть в такій ситуації кілька вузів все-таки використовували результати тестування при прийомі.

Наприклад, в березні на механіко-математичному факультеті МДУ ім. М. В. Ломоносова проводилася олімпіада з математики "АБІТУРІЄНТ-99", на яку допускалися і кращі учасники нашого заочного тестування, які проживають за межами Москви і Московської області. Успішно виступили на цій олімпіаді представляли до зарахування на факультет.

А в Російському державному університеті нафти і газу ім. І. М. Губкіна (ГАНГ) дострокові вступні іспити проводилися на початку травня тільки для випускників підготовчих курсів. Але до цих іспитів традиційно допускаються й учасники тестування. В результаті щороку в ГАНГ зараховується кілька десятків людей, які пройшли заочне тестування.

У МГТУ "СТАНКИН" на технічні факультети зараховувалися найкращі учасники за

очного тестування (за умови успішної здачі іспитів з математики). Крім того, в якості результатів іспитів зараховувалися результати попередньої атестації.

Зараз складно говорити про те, які пільги будуть надаватися учасникам заочного тестування навесні 2000 року. Це залежить від того, якими стануть нові правила прийому до вищих навчальних закладів, які скоро повинні бути прийняті в Міністерстві освіти РФ.

Не виключено навіть, що через кілька років вступні іспити скасують взагалі. Слідкуйте за нашими публікаціями!

Але як би не склалася ситуація з достроковими іспитами, просто перевірити свої сили дуже корисно всім абітурієнтам. Адже, вирішивши будь-який з даних тестів і виславши його за вказаною нижче адресою, ви отримаєте назад повні рішення задач всіх трьох тестів з аналізом характерних помилок, перевірену роботу з зазначеними недоліками і зазначенням, над чим вам слід працювати в майбутньому. Ті ж, хто добре впорається з тестом (під словом "добре" зовсім не мається на увазі, що вирішено більшість завдань, іноді досить грамотно і чітко вирішити кілька), мають шанси отримати персональні запрошення на дострокові і репетиційні іспити в конкретні ВНЗ (сподіваємося, що такі іспити все ж не скасують), а також нагороди (див. далі).

Хтось із вас, можливо, вирішить, що це не для нього: "куди там сунутися з моїм знанням математики ..." - і буде неправий! По-перше, "не боги горщики обпалюють" - багато хто схильний сильно применшувати свої знання; а по-друге, у багатьох вузах потрібно не так уже й високий рівень знання математики.

***

Перед вами три тести. Тест № 1 визначає рівень володіння стандартної шкільної програми з математики, тест № 2 відповідає рівню вузівського вступного іспиту, тест № 3 - тест підвищеної складності, відповідний вузу з високим рівнем викладання математики. При цьому завдання у всіх тестах кілька складніші, ніж завдання конкретних іспитів. Це зроблено тому, що у вас буде багато часу на рішення, що ви будете в спокійній домашній обстановці, що можна "порадитися" з підручником, з друзями, а часом і з учителем.

Виникає питання: який же тест вирішувати? Це залежить від того, на який рівень вступного іспиту ви "претендуєте".

Якщо ви хочете вступити до вузу з високим рівнем викладання математики, ми рекомендуємо вирішувати тест № 3. Можете замість цього (або разом з цим) спробувати добре впоратися з тестом № 2. Якщо ж ваш вуз "звичайний", то вирішуйте тест № 1 або 2. Ви маєте право вирішити один, два або всі три тести. Оцінки по кожному з них є незалежними і не впливають на оцінки іншого тіста.

Кілька слів про оформлення робіт. Тест повинен бути вирішене в окремому зошиті. Необхідно залишити для зауважень перевіряючих поля шириною 6 клітинок. Умови завдань переписувати не треба. Якщо ви вирішуєте два або три тести, то їх можна вирішувати в цій же зошити, а якщо не вистачає місця, то додати іншу (або використовувати зошит в 24 аркуша).

На обкладинці зошита обов'язково вкажіть: прізвище, ім'я, по батькові; поштову адресу та індекс; школу і клас, в якому вчитеся.

Участь у тестуванні платне. Але сума - досить помірна, вона включає в себе рекламні, поштові, поліграфічні, організаційні витрати, оплату перевіряючих тест викладачів. Ви повинні перерахувати поштовим переказом 60 рублів за один тест (відповідно за два тести - 100 руб., За три - 150 руб.) І разом з зошитом надіслати квитанцію про оплату або її копію.

Адреса для надсилання зошитів і перекладів: 117296, Москва, Університетський пр-т, д. 7, НТЦ "Університетський". Останній термін відправлення (за поштовим штемпелем) - 20 січня 2000 року.

Якщо ви боїтеся робити передоплату, напишіть на обкладинці зошита: "Оплату буду виконувати при отриманні тестів", і тоді ви оплатите тести вже при отриманні від нас своїх зошитів на пошті в лютому-березні. Правда, сума в цьому випадку буде приблизно на 30 рублів більше.

Ваші перевірені зошити разом з інформаційним пакетом будуть розсилатися назад в лютому - на початку березня.

В цьому році вперше кращі учасники тестування будуть нагороджені Оргкомітетом: вони отримають дипломи I, II, III ступеня та цінні призи.

Успіхів вам! Чекаємо ваші роботи!

Тест № 1

1. Спростити вираз \ [\ frac {(ab) ^ 2 + ab} {(a + b) ^ 2 -ab}: \ frac {a ^ 5 + a ^ 3 b ^ 2 + a ^ 2 b ^ 3 + b ^ 5} {(a ^ 3 + a ^ 2b + b ^ 2a + b ^ 3) (a ^ 3 - b ^ 3)} \] При яких значеннях а і b це вираз визначено?

2. Скільки рішень має рівняння \ [| x-1 | + | X-3 | = A \] при різних значеннях параметра а?

3. Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 7, а їх добуток - 8. Знайти четвертий член прогресії.

4. Вирішити рівняння \ [\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x + \ sin {2x} = \ frac 7 5. \] 5. Вирішити рівняння \ [(x ^ 2-x + 1) ^ 4 - 5x ^ 2 (x ^ 2-x + 1) ^ 2 + 4x ^ 4 = 0. \] 6. Вирішити нерівність

\ [\ Log _ {\ frac {x} {10}} \ log_x \ sqrt {10-x}> 0 \] 7. Вирішити рівняння

\ [\ Sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {\ cos ^ 2x} {2} + \ frac {1} {16}} + \ sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {3 \ cos ^ 2x} { 2} + \ frac {9} {16}} = \ frac 1 2. \] 8. Кути при вершинах В і С опуклого чотирикутника ABCD прямі, а синус кута D дорівнює `4 / sqrt 17`.

При цьому відомо, що сторона ВС вдвічі довшій боку АВ і на 5 см - сторони CD. Знайти площу цього чотирикутника.

9. У трикутник зі сторонами АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 6 см вписане коло, яка стосується боку АС в точці D. Знайти довжину відрізка BD.

10. У правильному тетраедра ABCD з ребром а точка F є серединою ребра CB, а точка E - серединою відрізка DF. Знайти довжину відрізка АЕ.

Тест № 2

1. Спростити вираз \ [(\ sqrt 3 + 1) \ sqrt {\ sqrt {24-16 \ sqrt2} -1} - \ sqrt6 + \ sqrt3 + \ sqrt2. \] 2. Вирішити рівняння \ [\ cos {\ left (\ frac32 \ pi + x \ right)} + \ cos {\ left (\ frac32 \ pi - 5x \ right)} = - \ cos {\ left (\ frac \ pi2 + 2x \ right)} \] Після цього виписати коріння, що лежать на відрізку \ [\ left [- \ frac {\ pi \ sqrt3} 2; \ Frac {\ pi \ sqrt5} 2 \ right]. \] Скільки їх?

3. Про двох трикутниках відомо, що довжини сторін першого утворюють арифметичну прогресію, а другий є рівностороннім. Відомо, що їх периметри збігаються і дорівнюють 3 см, а площі відносяться як 4: 5. Визначити сторони трикутників.

4. Вирішити нерівність \ [\ left (\ sin \ frac {59 \ pi} {20} \ right) ^ \ sqrt {\ sqrt {7-x} -x + 1} - \ cos {\ left (\ frac { 299} {20} \ pi \ right)} \ ge 0. \] 5. Вирішити нерівність при всіх значеннях параметра а \ [\ log_a (x-2) + \ log_ax \ gt \ left (\ frac x5 \ right) ^ {\ log _ {\ frac x5} 2} - 1. \] 6. Визначити а, якщо відомо, що рівняння \ [(a + 1) x ^ 4 -2 (a + 6) x ^ 2 + a - 2 = 0. \] Має чотири різних кореня.

7. Вирішити нерівність \ [(x ^ 2-x + 1) ^ 4 - 5x ^ 2 (x ^ 2-x + 1) ^ 2 + 4x ^ 4 \ ge 0. \] 8. Вирішити рівняння \ [| y-2 | +1 = 2 \ cos (\ pi xy) \ cdot \ lg (x + y) - \ lg ^ 2 (x + y). \] 9. У опуклий чотирикутник ABCD з кутами \ (\ angle A = 5 \ pi / 9 \) і \ (\ angle B = 7 \ pi / 18 \) вписане коло, що стосується відрізків АВ, ВС, CD, AD в точках E, F, G, H відповідно. Знайти кут FGH.

10. У правильному тетраедра ABCD з ребром а точка F є серединою ребра CB, а точка E - серединою відрізка DF. Знайти таку точку Н на ребрі DC, щоб відстань АН + НЕ було мінімальним. Чому дорівнює яку?

Тест № 3

1. Спростити вираз \ [\ left (\ frac 1 {\ sqrt a + \ sqrt {a + 1}} + \ frac 1 {\ sqrt a - \ sqrt {a-1}} \ right): \ left (1 + \ sqrt {\ frac {a + 1} {a-1}} \ right) \] 2. Резервуар забезпечується водою з п'яти трубах. Перша труба наповнює його за 40 хвилин; 2-а, 3-я і 4-я, працюючи одночасно, - за 10 хвилин; 2-а, 3-я і 5-я - за 15 хвилин; 4-я і 5-я - за 20 хвилин. За скільки часу наповнять резервуар всі п'ять труб при одночасній роботі?

3. В арифметичній прогресії з позитивною різницею шостий член дорівнює 3. При якому цілому значенні різниці прогресії твір першого, четвертого і п'ятого членів прогресії буде найбільшим?

4. При якому співвідношенні між величинами a, b і з вираження \ [y = a (\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x) + b (\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x) + c \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x \] не залежить від х? Чому воно тоді так само?

5. Вирішити систему рівнянь: \ [\ begin {cases} x + 2 b є найбільше можливе значення суми квадратів коренів квадратного тричлена \ [x ^ 2 - x \ sqrt {1-c} + 1 - 2c? \] 8. а) Зобразити на координатної площині безліч точок (х; y), що задовольняють співвідношенню \ [| y | = \ Sqrt {3 - x ^ 2 - 2 | x |} - 1. \] Б) Знайти площу, обмежену отриманої лінією.

9. У трикутнику АВС, в якому AB: BC = 2: 3, медіана АМ перетинає бісектрису BL в точці О. Знайти відношення площі трикутника ОВМ до площі трикутника AOL.

10. Трикутна піраміда SABC має в підставі рівнобедрений прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ, що дорівнює 4 см, і перпендикулярній ребру SC. Знайти обсяг піраміди, якщо медіана CD підніжжя піраміди складає кут \ (\ arcsin (\ sqrt {55} / 10) \) з ребром SA і кут \ (\ pi / 2 \) з ребром SC.

ТЕСТ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ У ВУЗИ

Ось уже шостий рік Науково-технічний центр "Університетський" і журнал "Абітурієнт" проводять Всеросійське заочне тестування з математики для вступників до вузів.

Цей захід абітурієнти встигли полюбити. Щовесни сотні з тих, хто пройшов тестування, запрошувалися до вузів на дострокові іспити і ставали студентами вже в березні-травні, не чекаючи літніх вступних іспитів і всієї пов'язаної з цим нервування. Всього за ці роки в тестуванні в тій чи іншій формі брали участь близько 40 провідних московських вузів. Вони розсилали кожному учаснику тестування повну інформацію про всі заплановані на весну заходах: дострокових, репетиційних та вступних іспитах, тестуваннях, олімпіадах, Днях відкритих дверей та ін. Багато з них для учасників тестування оголошували пільги на вступних іспитах.

Дуже шкода, що Міністерство освіти РФ цієї весни, по суті, заборонив проведення дострокових іспитів. Тому частина вузів відмовилася від їх проведення, інші проводять, але називають їх регіональними олімпіадами. У зв'язку з цим заочне тестування як перший тур вступу до вузу в значній мірі втратила свою силу. Проте навіть в такій ситуації кілька вузів все-таки використовували результати тестування при прийомі.

Наприклад, в березні на механіко-математичному факультеті МДУ ім. М. В. Ломоносова проводилася олімпіада з математики "АБІТУРІЄНТ-99", на яку допускалися і кращі учасники нашого заочного тестування, які проживають за межами Москви і Московської області. Успішно виступили на цій олімпіаді представляли до зарахування на факультет.

А в Російському державному університеті нафти і газу ім. І. М. Губкіна (ГАНГ) дострокові вступні іспити проводилися на початку травня тільки для випускників підготовчих курсів. Але до цих іспитів традиційно допускаються й учасники тестування. В результаті щороку в ГАНГ зараховується кілька десятків людей, які пройшли заочне тестування.

У МГТУ "СТАНКИН" на технічні факультети зараховувалися найкращі учасники за

очного тестування (за умови успішної здачі іспитів з математики). Крім того, в якості результатів іспитів зараховувалися результати попередньої атестації.

Зараз складно говорити про те, які пільги будуть надаватися учасникам заочного тестування навесні 2000 року. Це залежить від того, якими стануть нові правила прийому до вищих навчальних закладів, які скоро повинні бути прийняті в Міністерстві освіти РФ.

Не виключено навіть, що через кілька років вступні іспити скасують взагалі. Слідкуйте за нашими публікаціями!

Але як би не склалася ситуація з достроковими іспитами, просто перевірити свої сили дуже корисно всім абітурієнтам. Адже, вирішивши будь-який з даних тестів і виславши його за вказаною нижче адресою, ви отримаєте назад повні рішення задач всіх трьох тестів з аналізом характерних помилок, перевірену роботу з зазначеними недоліками і зазначенням, над чим вам слід працювати в майбутньому. Ті ж, хто добре впорається з тестом (під словом "добре" зовсім не мається на увазі, що вирішено більшість завдань, іноді досить грамотно і чітко вирішити кілька), мають шанси отримати персональні запрошення на дострокові і репетиційні іспити в конкретні ВНЗ (сподіваємося, що такі іспити все ж не скасують), а також нагороди (див. далі).

Хтось із вас, можливо, вирішить, що це не для нього: "куди там сунутися з моїм знанням математики ..." - і буде неправий! По-перше, "не боги горщики обпалюють" - багато хто схильний сильно применшувати свої знання; а по-друге, у багатьох вузах потрібно не так уже й високий рівень знання математики.

***

Перед вами три тести. Тест № 1 визначає рівень володіння стандартної шкільної програми з математики, тест № 2 відповідає рівню вузівського вступного іспиту, тест № 3 - тест підвищеної складності, відповідний вузу з високим рівнем викладання математики. При цьому завдання у всіх тестах кілька складніші, ніж завдання конкретних іспитів. Це зроблено тому, що у вас буде багато часу на рішення, що ви будете в спокійній домашній обстановці, що можна "порадитися" з підручником, з друзями, а часом і з учителем.

Виникає питання: який же тест вирішувати? Це залежить від того, на який рівень вступного іспиту ви "претендуєте".

Якщо ви хочете вступити до вузу з високим рівнем викладання математики, ми рекомендуємо вирішувати тест № 3. Можете замість цього (або разом з цим) спробувати добре впоратися з тестом № 2. Якщо ж ваш вуз "звичайний", то вирішуйте тест № 1 або 2. Ви маєте право вирішити один, два або всі три тести. Оцінки по кожному з них є незалежними і не впливають на оцінки іншого тіста.

Кілька слів про оформлення робіт. Тест повинен бути вирішене в окремому зошиті. Необхідно залишити для зауважень перевіряючих поля шириною 6 клітинок. Умови завдань переписувати не треба. Якщо ви вирішуєте два або три тести, то їх можна вирішувати в цій же зошити, а якщо не вистачає місця, то додати іншу (або використовувати зошит в 24 аркуша).

На обкладинці зошита обов'язково вкажіть: прізвище, ім'я, по батькові; поштову адресу та індекс; школу і клас, в якому вчитеся.

Участь у тестуванні платне. Але сума - досить помірна, вона включає в себе рекламні, поштові, поліграфічні, організаційні витрати, оплату перевіряючих тест викладачів. Ви повинні перерахувати поштовим переказом 60 рублів за один тест (відповідно за два тести - 100 руб., За три - 150 руб.) І разом з зошитом надіслати квитанцію про оплату або її копію.

Адреса для надсилання зошитів і перекладів: 117296, Москва, Університетський пр-т, д. 7, НТЦ "Університетський". Останній термін відправлення (за поштовим штемпелем) - 20 січня 2000 року.

Якщо ви боїтеся робити передоплату, напишіть на обкладинці зошита: "Оплату буду виконувати при отриманні тестів", і тоді ви оплатите тести вже при отриманні від нас своїх зошитів на пошті в лютому-березні. Правда, сума в цьому випадку буде приблизно на 30 рублів більше.

Ваші перевірені зошити разом з інформаційним пакетом будуть розсилатися назад в лютому - на початку березня.

В цьому році вперше кращі учасники тестування будуть нагороджені Оргкомітетом: вони отримають дипломи I, II, III ступеня та цінні призи.

Успіхів вам! Чекаємо ваші роботи!

Тест № 1

1. Спростити вираз \ [\ frac {(ab) ^ 2 + ab} {(a + b) ^ 2 -ab}: \ frac {a ^ 5 + a ^ 3 b ^ 2 + a ^ 2 b ^ 3 + b ^ 5} {(a ^ 3 + a ^ 2b + b ^ 2a + b ^ 3) (a ^ 3 - b ^ 3)} \] При яких значеннях а і b це вираз визначено?

2. Скільки рішень має рівняння \ [| x-1 | + | X-3 | = A \] при різних значеннях параметра а?

3. Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 7, а їх добуток - 8. Знайти четвертий член прогресії.

4. Вирішити рівняння \ [\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x + \ sin {2x} = \ frac 7 5. \] 5. Вирішити рівняння \ [(x ^ 2-x + 1) ^ 4 - 5x ^ 2 (x ^ 2-x + 1) ^ 2 + 4x ^ 4 = 0. \] 6. Вирішити нерівність

\ [\ Log _ {\ frac {x} {10}} \ log_x \ sqrt {10-x}> 0 \] 7. Вирішити рівняння

\ [\ Sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {\ cos ^ 2x} {2} + \ frac {1} {16}} + \ sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {3 \ cos ^ 2x} { 2} + \ frac {9} {16}} = \ frac 1 2. \] 8. Кути при вершинах В і С опуклого чотирикутника ABCD прямі, а синус кута D дорівнює `4 / sqrt 17`.

При цьому відомо, що сторона ВС вдвічі довшій боку АВ і на 5 см - сторони CD. Знайти площу цього чотирикутника.

9. У трикутник зі сторонами АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 6 см вписане коло, яка стосується боку АС в точці D. Знайти довжину відрізка BD.

10. У правильному тетраедра ABCD з ребром а точка F є серединою ребра CB, а точка E - серединою відрізка DF. Знайти довжину відрізка АЕ.

Тест № 2

1. Спростити вираз \ [(\ sqrt 3 + 1) \ sqrt {\ sqrt {24-16 \ sqrt2} -1} - \ sqrt6 + \ sqrt3 + \ sqrt2. \] 2. Вирішити рівняння \ [\ cos {\ left (\ frac32 \ pi + x \ right)} + \ cos {\ left (\ frac32 \ pi - 5x \ right)} = - \ cos {\ left (\ frac \ pi2 + 2x \ right)} \] Після цього виписати коріння, що лежать на відрізку \ [\ left [- \ frac {\ pi \ sqrt3} 2; \ Frac {\ pi \ sqrt5} 2 \ right]. \] Скільки їх?

3. Про двох трикутниках відомо, що довжини сторін першого утворюють арифметичну прогресію, а другий є рівностороннім. Відомо, що їх периметри збігаються і дорівнюють 3 см, а площі відносяться як 4: 5. Визначити сторони трикутників.

4. Вирішити нерівність \ [\ left (\ sin \ frac {59 \ pi} {20} \ right) ^ \ sqrt {\ sqrt {7-x} -x + 1} - \ cos {\ left (\ frac { 299} {20} \ pi \ right)} \ ge 0. \] 5. Вирішити нерівність при всіх значеннях параметра а \ [\ log_a (x-2) + \ log_ax \ gt \ left (\ frac x5 \ right) ^ {\ log _ {\ frac x5} 2} - 1. \] 6. Визначити а, якщо відомо, що рівняння \ [(a + 1) x ^ 4 -2 (a + 6) x ^ 2 + a - 2 = 0. \] Має чотири різних кореня.

7. Вирішити нерівність \ [(x ^ 2-x + 1) ^ 4 - 5x ^ 2 (x ^ 2-x + 1) ^ 2 + 4x ^ 4 \ ge 0. \] 8. Вирішити рівняння \ [| y-2 | +1 = 2 \ cos (\ pi xy) \ cdot \ lg (x + y) - \ lg ^ 2 (x + y). \] 9. У опуклий чотирикутник ABCD з кутами \ (\ angle A = 5 \ pi / 9 \) і \ (\ angle B = 7 \ pi / 18 \) вписане коло, що стосується відрізків АВ, ВС, CD, AD в точках E, F, G, H відповідно. Знайти кут FGH.

10. У правильному тетраедра ABCD з ребром а точка F є серединою ребра CB, а точка E - серединою відрізка DF. Знайти таку точку Н на ребрі DC, щоб відстань АН + НЕ було мінімальним. Чому дорівнює яку?

Тест № 3

1. Спростити вираз \ [\ left (\ frac 1 {\ sqrt a + \ sqrt {a + 1}} + \ frac 1 {\ sqrt a - \ sqrt {a-1}} \ right): \ left (1 + \ sqrt {\ frac {a + 1} {a-1}} \ right) \] 2. Резервуар забезпечується водою з п'яти трубах. Перша труба наповнює його за 40 хвилин; 2-а, 3-я і 4-я, працюючи одночасно, - за 10 хвилин; 2-а, 3-я і 5-я - за 15 хвилин; 4-я і 5-я - за 20 хвилин. За скільки часу наповнять резервуар всі п'ять труб при одночасній роботі?

3. В арифметичній прогресії з позитивною різницею шостий член дорівнює 3. При якому цілому значенні різниці прогресії твір першого, четвертого і п'ятого членів прогресії буде найбільшим?

4. При якому співвідношенні між величинами a, b і з вираження \ [y = a (\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x) + b (\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x) + c \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x \] не залежить від х? Чому воно тоді так само?

5. Вирішити систему рівнянь: \ [\ begin {cases} x + 2 b є найбільше можливе значення суми квадратів коренів квадратного тричлена \ [x ^ 2 - x \ sqrt {1-c} + 1 - 2c? \] 8. а) Зобразити на координатної площині безліч точок (х; y), що задовольняють співвідношенню \ [| y | = \ Sqrt {3 - x ^ 2 - 2 | x |} - 1. \] Б) Знайти площу, обмежену отриманої лінією.

9. У трикутнику АВС, в якому AB: BC = 2: 3, медіана АМ перетинає бісектрису BL в точці О. Знайти відношення площі трикутника ОВМ до площі трикутника AOL.

10. Трикутна піраміда SABC має в підставі рівнобедрений прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ, що дорівнює 4 см, і перпендикулярній ребру SC. Знайти обсяг піраміди, якщо медіана CD підніжжя піраміди складає кут \ (\ arcsin (\ sqrt {55} / 10) \) з ребром SA і кут \ (\ pi / 2 \) з ребром SC.

ТЕСТ З МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСТУПНИКІВ У ВУЗИ

Ось уже шостий рік Науково-технічний центр "Університетський" і журнал "Абітурієнт" проводять Всеросійське заочне тестування з математики для вступників до вузів.

Цей захід абітурієнти встигли полюбити. Щовесни сотні з тих, хто пройшов тестування, запрошувалися до вузів на дострокові іспити і ставали студентами вже в березні-травні, не чекаючи літніх вступних іспитів і всієї пов'язаної з цим нервування. Всього за ці роки в тестуванні в тій чи іншій формі брали участь близько 40 провідних московських вузів. Вони розсилали кожному учаснику тестування повну інформацію про всі заплановані на весну заходах: дострокових, репетиційних та вступних іспитах, тестуваннях, олімпіадах, Днях відкритих дверей та ін. Багато з них для учасників тестування оголошували пільги на вступних іспитах.

Дуже шкода, що Міністерство освіти РФ цієї весни, по суті, заборонив проведення дострокових іспитів. Тому частина вузів відмовилася від їх проведення, інші проводять, але називають їх регіональними олімпіадами. У зв'язку з цим заочне тестування як перший тур вступу до вузу в значній мірі втратила свою силу. Проте навіть в такій ситуації кілька вузів все-таки використовували результати тестування при прийомі.

Наприклад, в березні на механіко-математичному факультеті МДУ ім. М. В. Ломоносова проводилася олімпіада з математики "АБІТУРІЄНТ-99", на яку допускалися і кращі учасники нашого заочного тестування, які проживають за межами Москви і Московської області. Успішно виступили на цій олімпіаді представляли до зарахування на факультет.

А в Російському державному університеті нафти і газу ім. І. М. Губкіна (ГАНГ) дострокові вступні іспити проводилися на початку травня тільки для випускників підготовчих курсів. Але до цих іспитів традиційно допускаються й учасники тестування. В результаті щороку в ГАНГ зараховується кілька десятків людей, які пройшли заочне тестування.

У МГТУ "СТАНКИН" на технічні факультети зараховувалися найкращі учасники за

очного тестування (за умови успішної здачі іспитів з математики). Крім того, в якості результатів іспитів зараховувалися результати попередньої атестації.

Зараз складно говорити про те, які пільги будуть надаватися учасникам заочного тестування навесні 2000 року. Це залежить від того, якими стануть нові правила прийому до вищих навчальних закладів, які скоро повинні бути прийняті в Міністерстві освіти РФ.

Не виключено навіть, що через кілька років вступні іспити скасують взагалі. Слідкуйте за нашими публікаціями!

Але як би не склалася ситуація з достроковими іспитами, просто перевірити свої сили дуже корисно всім абітурієнтам. Адже, вирішивши будь-який з даних тестів і виславши його за вказаною нижче адресою, ви отримаєте назад повні рішення задач всіх трьох тестів з аналізом характерних помилок, перевірену роботу з зазначеними недоліками і зазначенням, над чим вам слід працювати в майбутньому. Ті ж, хто добре впорається з тестом (під словом "добре" зовсім не мається на увазі, що вирішено більшість завдань, іноді досить грамотно і чітко вирішити кілька), мають шанси отримати персональні запрошення на дострокові і репетиційні іспити в конкретні ВНЗ (сподіваємося, що такі іспити все ж не скасують), а також нагороди (див. далі).

Хтось із вас, можливо, вирішить, що це не для нього: "куди там сунутися з моїм знанням математики ..." - і буде неправий! По-перше, "не боги горщики обпалюють" - багато хто схильний сильно применшувати свої знання; а по-друге, у багатьох вузах потрібно не так уже й високий рівень знання математики.

***

Перед вами три тести. Тест № 1 визначає рівень володіння стандартної шкільної програми з математики, тест № 2 відповідає рівню вузівського вступного іспиту, тест № 3 - тест підвищеної складності, відповідний вузу з високим рівнем викладання математики. При цьому завдання у всіх тестах кілька складніші, ніж завдання конкретних іспитів. Це зроблено тому, що у вас буде багато часу на рішення, що ви будете в спокійній домашній обстановці, що можна "порадитися" з підручником, з друзями, а часом і з учителем.

Виникає питання: який же тест вирішувати? Це залежить від того, на який рівень вступного іспиту ви "претендуєте".

Якщо ви хочете вступити до вузу з високим рівнем викладання математики, ми рекомендуємо вирішувати тест № 3. Можете замість цього (або разом з цим) спробувати добре впоратися з тестом № 2. Якщо ж ваш вуз "звичайний", то вирішуйте тест № 1 або 2. Ви маєте право вирішити один, два або всі три тести. Оцінки по кожному з них є незалежними і не впливають на оцінки іншого тіста.

Кілька слів про оформлення робіт. Тест повинен бути вирішене в окремому зошиті. Необхідно залишити для зауважень перевіряючих поля шириною 6 клітинок. Умови завдань переписувати не треба. Якщо ви вирішуєте два або три тести, то їх можна вирішувати в цій же зошити, а якщо не вистачає місця, то додати іншу (або використовувати зошит в 24 аркуша).

На обкладинці зошита обов'язково вкажіть: прізвище, ім'я, по батькові; поштову адресу та індекс; школу і клас, в якому вчитеся.

Участь у тестуванні платне. Але сума - досить помірна, вона включає в себе рекламні, поштові, поліграфічні, організаційні витрати, оплату перевіряючих тест викладачів. Ви повинні перерахувати поштовим переказом 60 рублів за один тест (відповідно за два тести - 100 руб., За три - 150 руб.) І разом з зошитом надіслати квитанцію про оплату або її копію.

Адреса для надсилання зошитів і перекладів: 117296, Москва, Університетський пр-т, д. 7, НТЦ "Університетський". Останній термін відправлення (за поштовим штемпелем) - 20 січня 2000 року.

Якщо ви боїтеся робити передоплату, напишіть на обкладинці зошита: "Оплату буду виконувати при отриманні тестів", і тоді ви оплатите тести вже при отриманні від нас своїх зошитів на пошті в лютому-березні. Правда, сума в цьому випадку буде приблизно на 30 рублів більше.

Ваші перевірені зошити разом з інформаційним пакетом будуть розсилатися назад в лютому - на початку березня.

В цьому році вперше кращі учасники тестування будуть нагороджені Оргкомітетом: вони отримають дипломи I, II, III ступеня та цінні призи.

Успіхів вам! Чекаємо ваші роботи!

Тест № 1

1. Спростити вираз \ [\ frac {(ab) ^ 2 + ab} {(a + b) ^ 2 -ab}: \ frac {a ^ 5 + a ^ 3 b ^ 2 + a ^ 2 b ^ 3 + b ^ 5} {(a ^ 3 + a ^ 2b + b ^ 2a + b ^ 3) (a ^ 3 - b ^ 3)} \] При яких значеннях а і b це вираз визначено?

2. Скільки рішень має рівняння \ [| x-1 | + | X-3 | = A \] при різних значеннях параметра а?

3. Сума перших трьох членів геометричної прогресії дорівнює 7, а їх добуток - 8. Знайти четвертий член прогресії.

4. Вирішити рівняння \ [\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x + \ sin {2x} = \ frac 7 5. \] 5. Вирішити рівняння \ [(x ^ 2-x + 1) ^ 4 - 5x ^ 2 (x ^ 2-x + 1) ^ 2 + 4x ^ 4 = 0. \] 6. Вирішити нерівність

\ [\ Log _ {\ frac {x} {10}} \ log_x \ sqrt {10-x}> 0 \] 7. Вирішити рівняння

\ [\ Sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {\ cos ^ 2x} {2} + \ frac {1} {16}} + \ sqrt {\ cos ^ 4x - \ frac {3 \ cos ^ 2x} { 2} + \ frac {9} {16}} = \ frac 1 2. \] 8. Кути при вершинах В і С опуклого чотирикутника ABCD прямі, а синус кута D дорівнює `4 / sqrt 17`.

При цьому відомо, що сторона ВС вдвічі довшій боку АВ і на 5 см - сторони CD. Знайти площу цього чотирикутника.

9. У трикутник зі сторонами АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 6 см вписане коло, яка стосується боку АС в точці D. Знайти довжину відрізка BD.

10. У правильному тетраедра ABCD з ребром а точка F є серединою ребра CB, а точка E - серединою відрізка DF. Знайти довжину відрізка АЕ.

Тест № 2

1. Спростити вираз \ [(\ sqrt 3 + 1) \ sqrt {\ sqrt {24-16 \ sqrt2} -1} - \ sqrt6 + \ sqrt3 + \ sqrt2. \] 2. Вирішити рівняння \ [\ cos {\ left (\ frac32 \ pi + x \ right)} + \ cos {\ left (\ frac32 \ pi - 5x \ right)} = - \ cos {\ left (\ frac \ pi2 + 2x \ right)} \] Після цього виписати коріння, що лежать на відрізку \ [\ left [- \ frac {\ pi \ sqrt3} 2; \ Frac {\ pi \ sqrt5} 2 \ right]. \] Скільки їх?

3. Про двох трикутниках відомо, що довжини сторін першого утворюють арифметичну прогресію, а другий є рівностороннім. Відомо, що їх периметри збігаються і дорівнюють 3 см, а площі відносяться як 4: 5. Визначити сторони трикутників.

4. Вирішити нерівність \ [\ left (\ sin \ frac {59 \ pi} {20} \ right) ^ \ sqrt {\ sqrt {7-x} -x + 1} - \ cos {\ left (\ frac { 299} {20} \ pi \ right)} \ ge 0. \] 5. Вирішити нерівність при всіх значеннях параметра а \ [\ log_a (x-2) + \ log_ax \ gt \ left (\ frac x5 \ right) ^ {\ log _ {\ frac x5} 2} - 1. \] 6. Визначити а, якщо відомо, що рівняння \ [(a + 1) x ^ 4 -2 (a + 6) x ^ 2 + a - 2 = 0. \] Має чотири різних кореня.

7. Вирішити нерівність \ [(x ^ 2-x + 1) ^ 4 - 5x ^ 2 (x ^ 2-x + 1) ^ 2 + 4x ^ 4 \ ge 0. \] 8. Вирішити рівняння \ [| y-2 | +1 = 2 \ cos (\ pi xy) \ cdot \ lg (x + y) - \ lg ^ 2 (x + y). \] 9. У опуклий чотирикутник ABCD з кутами \ (\ angle A = 5 \ pi / 9 \) і \ (\ angle B = 7 \ pi / 18 \) вписане коло, що стосується відрізків АВ, ВС, CD, AD в точках E, F, G, H відповідно. Знайти кут FGH.

10. У правильному тетраедра ABCD з ребром а точка F є серединою ребра CB, а точка E - серединою відрізка DF. Знайти таку точку Н на ребрі DC, щоб відстань АН + НЕ було мінімальним. Чому дорівнює яку?

Тест № 3

1. Спростити вираз \ [\ left (\ frac 1 {\ sqrt a + \ sqrt {a + 1}} + \ frac 1 {\ sqrt a - \ sqrt {a-1}} \ right): \ left (1 + \ sqrt {\ frac {a + 1} {a-1}} \ right) \] 2. Резервуар забезпечується водою з п'яти трубах. Перша труба наповнює його за 40 хвилин; 2-а, 3-я і 4-я, працюючи одночасно, - за 10 хвилин; 2-а, 3-я і 5-я - за 15 хвилин; 4-я і 5-я - за 20 хвилин. За скільки часу наповнять резервуар всі п'ять труб при одночасній роботі?

3. В арифметичній прогресії з позитивною різницею шостий член дорівнює 3. При якому цілому значенні різниці прогресії твір першого, четвертого і п'ятого членів прогресії буде найбільшим?

4. При якому співвідношенні між величинами a, b і з вираження \ [y = a (\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x) + b (\ sin ^ 4x + \ cos ^ 4x) + c \ sin ^ 2x \ cos ^ 2x \] не залежить від х? Чому воно тоді так само?

5. Вирішити систему рівнянь: \ [\ begin {cases} x + 2 b є найбільше можливе значення суми квадратів коренів квадратного тричлена \ [x ^ 2 - x \ sqrt {1-c} + 1 - 2c? \] 8. а) Зобразити на координатної площині безліч точок (х; y), що задовольняють співвідношенню \ [| y | = \ Sqrt {3 - x ^ 2 - 2 | x |} - 1. \] Б) Знайти площу, обмежену отриманої лінією.

9. У трикутнику АВС, в якому AB: BC = 2: 3, медіана АМ перетинає бісектрису BL в точці О. Знайти відношення площі трикутника ОВМ до площі трикутника AOL.

10. Трикутна піраміда SABC має в підставі рівнобедрений прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ, що дорівнює 4 см, і перпендикулярній ребру SC. Знайти обсяг піраміди, якщо медіана CD підніжжя піраміди складає кут \ (\ arcsin (\ sqrt {55} / 10) \) з ребром SA і кут \ (\ pi / 2 \) з ребром SC.